本書(shū)是教育部“高等教育面向21世紀(jì)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革計(jì)劃”的研究成果。本書(shū)分為基礎(chǔ)篇和選學(xué)篇。與第一版相比，基礎(chǔ)篇中略去了一些枝葉以突出“基礎(chǔ)”，選學(xué)篇中則添加有限單環(huán)和Boole代數(shù)以嘗試非傳統(tǒng)內(nèi)容進(jìn)入近世代數(shù)教科書(shū)中。
2009年，在和彭聯(lián)剛教授一次聚會(huì)時(shí)，他談起關(guān)于近世代數(shù)的一個(gè)教學(xué)想法：“先講群、環(huán)、域的基本概念、基本知識(shí)，在學(xué)生有了一定的代數(shù)訓(xùn)練后，再選擇有關(guān)群、環(huán)、域的一些進(jìn)一步課題講，效果會(huì)好一些，選題也可更自由一些。也許可以有一本書(shū)，分成基礎(chǔ)篇、選學(xué)篇兩部分”。我覺(jué)得他的想法很好，也是作一次嘗試，這次修訂《近世代數(shù)基礎(chǔ)》一書(shū)時(shí)，就完全照此處理。把原書(shū)中基礎(chǔ)部分，略經(jīng)去葉削枝（如刪去原書(shū)第一章的§2，但也為有限域新添了一個(gè)例子）以突出基礎(chǔ)后，組成基礎(chǔ)篇，其余部分略有補(bǔ)充后放進(jìn)選學(xué)篇。由于這樣安排下的選學(xué)篇留給編者一定的自由空間，所以我新寫(xiě)了兩節(jié)。
基礎(chǔ)篇是本課程的主體。這里最重要也是較難掌握的概念是同態(tài)。同態(tài)在大學(xué)近世代數(shù)課程中的地位有點(diǎn)像大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程中的極限概念。大學(xué)數(shù)學(xué)分析以極限為靈魂，極限以及由它定義的微商積分貫穿和控制了整個(gè)課程。大學(xué)近世代數(shù)以同態(tài)為核心概念，同態(tài)以及由它導(dǎo)出的商群（商環(huán)）、正規(guī)子群（理想）貫穿和控制了整個(gè)課程。例如，就說(shuō)本課程中域論的主要對(duì)象——分裂域，其實(shí)體就是（一元多項(xiàng)式環(huán)關(guān)于一個(gè)不可約多項(xiàng)式生成的理想的）商環(huán)，而研究它的工具Galois群就是此商環(huán)的一些自同構(gòu)組成的群。極限和同態(tài)是兩種不同類型的概念，都是許多重要概念的出發(fā)點(diǎn)或基石。在基礎(chǔ)篇中把同態(tài)（以及商群、商環(huán)、正規(guī)子群、理想）學(xué)好是必需的（否則就寸步難行），也是值得稱道的收獲。
……
第一部分 基礎(chǔ)篇
第一章 對(duì)稱與群
§1.1 平面圖形的對(duì)稱與群
1.1.1 運(yùn)動(dòng)群
1.1.2 平面圖形對(duì)稱的數(shù)學(xué)定義
§1.2 多項(xiàng)式的對(duì)稱與群
第二章 群
§2.1 群
2.1.1 群的定義
2.1.2 群的同構(gòu)和反同構(gòu)
2.1.3 一個(gè)寫(xiě)法問(wèn)題
§2.2 子群
2.2.1 一點(diǎn)準(zhǔn)備
2.2.2 子群的定義
2.2.3 兩類特殊子群
§2.3 生成元集，循環(huán)群
2.3.1 生成元集
2.3.2 循環(huán)群
§2.4 子群（續(xù)）
2.4.1 平面運(yùn)動(dòng)群的有限子群
2.4.2 Sn的子群
§2.5 商群
2.5.1 合同關(guān)系與合同劃分
2.5.2 商群
2.5.3 商群與正規(guī)子群
§2.6 同態(tài)
2.6.1 同態(tài)的定義
2.6.2 同態(tài)與商群
§2.7 有限群
2.7.1 有限群中的數(shù)量關(guān)系
2.7.2 交換群的子群存在問(wèn)題
2.7.3 Sylow子群的存在問(wèn)題
§2.8 單群
§2.9 群在集上的作用
2.9.1 G-集的定義
2.9.2 群的表示與G-集
2.9.3 G-集的結(jié)構(gòu)
2.9.4 G-集的應(yīng)用
第三章 環(huán)與域
§3.1 環(huán)與域
3.1.1 環(huán)的定義及基本性質(zhì)
3.1.2 子環(huán)
3.1.3 同態(tài)、理想、商環(huán)
§3.2 環(huán)的構(gòu)造
3.2.1 模仿由Z到Q
3.2.2 模仿由Q到R
3.2.3 模仿由R到e
3.2.4 由群作代數(shù)
§3.3 多項(xiàng)式環(huán)
3.3.1 冗上一元多項(xiàng)式函數(shù)環(huán)
3.3.2 R上一元多項(xiàng)式環(huán)
3.3.3 兩者之間的關(guān)系
3.3.4 R上多元多項(xiàng)式環(huán)
§3.4 交換環(huán)
3.4.1 整環(huán)的特征
3.4.2 整環(huán)的商環(huán)
3.4.3 素理想和極大理想
……
第二部分 選學(xué)篇
參考文獻(xiàn)
符號(hào)表
索引
書(shū)單推薦
