引 言

我們很幸運(yùn)生活在一個(gè)繼續(xù)發(fā)現(xiàn)的時(shí)代。就像發(fā)現(xiàn)

美洲新大陸一樣你只能發(fā)現(xiàn)一次。我們是生活

在一個(gè)發(fā)現(xiàn)自然基本定律的時(shí)代。

美國(guó)物理學(xué)家 理查·費(fèi)曼 1964年

本書(shū)摘選了數(shù)學(xué)史上最重要的31部典范之作，它們匯成了對(duì)那些推進(jìn)人類(lèi)認(rèn)識(shí)世界并為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)開(kāi)山鋪路的數(shù)學(xué)家們的贊歌。

許多世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)家們的努力幫助人類(lèi)達(dá)到對(duì)自然的偉大洞察，諸如認(rèn)識(shí)到地球是圓的、使蘋(píng)果落地和使重物運(yùn)動(dòng)的是同一種力、空間是有限的和非永恒的、時(shí)空相互聯(lián)系并因物質(zhì)和能量而彎曲，以及未來(lái)只能或然地確定。我們認(rèn)識(shí)世界的方式的變革總是與數(shù)學(xué)思想的變革攜手并進(jìn)。沒(méi)有笛卡兒的解析幾何和他本人發(fā)明的微積分，牛頓決不可能建立其力學(xué)定律；沒(méi)有福里葉的方法和由高斯、柯西引領(lǐng)的微積分和復(fù)變函數(shù)論研究，很難想象電動(dòng)力學(xué)和量子理論的發(fā)展正是勒貝格的測(cè)度理論使馮諾依曼得以奠定量子力學(xué)的嚴(yán)格基礎(chǔ)；同樣，不借助黎曼的幾何思想，愛(ài)因斯坦也不可能完成他的廣義相對(duì)論；而事實(shí)上，如果沒(méi)有拉普拉斯的概率統(tǒng)計(jì)概念，整個(gè)近代科學(xué)就不可能如此影響巨大（如果確有影響的話(huà)）。

迄今還沒(méi)有哪一種智力探索比數(shù)學(xué)研究對(duì)物理科學(xué)更為重要。然而數(shù)學(xué)不僅僅是科學(xué)的工具和語(yǔ)言。數(shù)學(xué)還有它自身的目的，長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)一直影響著我們的世界觀(guān)。魏斯特拉斯提出了嶄新的函數(shù)連續(xù)性概念；康托的工作革新了人們對(duì)無(wú)限的認(rèn)識(shí)；布爾的《思維規(guī)律》揭示了邏輯作為一種程序系統(tǒng)服從與代數(shù)相同的規(guī)律，從而闡明了思維的本質(zhì)，最終能夠在一定程度上實(shí)現(xiàn)思維的機(jī)械化，即現(xiàn)代數(shù)字計(jì)算機(jī)的誕生。早在有可能在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行熟練的計(jì)算之前很久，圖靈就闡明了數(shù)值計(jì)算的威力和局限哥德?tīng)栕C明了一條使許多哲學(xué)家和所有其他相信絕對(duì)真理的人大感困惑的定理：任何一個(gè)足夠復(fù)雜的邏輯系統(tǒng)（例如算術(shù)）一定存在一個(gè)既不能證明也不能證偽的命題。更糟糕的是，他同時(shí)還證明了：一個(gè)系統(tǒng)在邏輯上是否相容的問(wèn)題不可能由該系統(tǒng)本身獲得證明。

這部引人入勝的文集展示了所有這類(lèi)突破性的發(fā)展、25個(gè)世紀(jì)來(lái)數(shù)學(xué)的核心思想，通過(guò)原始文獻(xiàn)來(lái)追蹤古往今來(lái)數(shù)學(xué)思想的進(jìn)化與變革。

本書(shū)選載的第一篇文獻(xiàn)是公元前300年左右歐幾里得的著作，不過(guò)早在公元前3500年以前埃及人和巴比倫人就已經(jīng)發(fā)展了令人印象深刻的數(shù)學(xué)計(jì)算能力。埃及人運(yùn)用這種技能建造了偉大的金字塔并實(shí)現(xiàn)了其它令人驚異的目標(biāo)，然而埃及人的計(jì)算缺乏某種后來(lái)被認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)至關(guān)重要的品質(zhì)，即嚴(yán)格性。例如，古代埃及人將一個(gè)圓的面積等同于一個(gè)邊長(zhǎng)為其直徑的8/9的正方形的面積。這一方法相當(dāng)于取數(shù)學(xué)常數(shù)的值為256/81。一方面，這是了不起的，因?yàn)樗�與精確值的誤差還不到百分之零點(diǎn)五。但另一方面，這一結(jié)果是完全錯(cuò)誤的。為什么要在乎百分之零點(diǎn)五的誤差呢？因?yàn)榘＜叭说慕�似值忽視了的真值的一個(gè)深刻而基本的性質(zhì)：它根本不可能寫(xiě)成人和分?jǐn)?shù)的形式。這是一個(gè)原則問(wèn)題，與任何純粹的數(shù)量精確性問(wèn)題無(wú)關(guān)。的無(wú)理性直到19世紀(jì)后半葉才被證明，早期希臘人確實(shí)發(fā)現(xiàn)了不能用分?jǐn)?shù)表示的數(shù)，這使他們感到困惑和震驚。希臘人的高明之處是在于：他們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)中原則的重要性，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)本質(zhì)上是一門(mén)從一套概念和法則出發(fā)、嚴(yán)格地推導(dǎo)出精確結(jié)果的學(xué)科。

公元前300年左右，亞歷山大城歐幾里得的《原本》集希臘幾何知識(shí)之大成。在隨后幾個(gè)世紀(jì)里，希臘人在幾何與代數(shù)兩個(gè)領(lǐng)域里都作出了重大的推進(jìn)。阿基米德可謂古代世界最偉大的數(shù)學(xué)家，他深入研究幾何圖形的性質(zhì)并創(chuàng)造了求面積和體積以及計(jì)算新的近似值的天才方法。另一位亞歷山大數(shù)學(xué)家丟番圖考察了代數(shù)問(wèn)題中文字和數(shù)字混雜的情況，指出抽象可以使數(shù)學(xué)極大地簡(jiǎn)化。因此丟番圖應(yīng)該是在代數(shù)中引進(jìn)符號(hào)的第一人。一千多年以后，法國(guó)人笛卡兒將代數(shù)與幾何兩大領(lǐng)域結(jié)合起來(lái)而開(kāi)創(chuàng)了解析幾何。笛卡兒的工作為牛頓發(fā)明微積分鋪平了道路，微積分與解析幾何共同標(biāo)志著科學(xué)研究的嶄新方法。自牛頓時(shí)代以來(lái)，數(shù)學(xué)創(chuàng)新的步伐始終激動(dòng)人心，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科代數(shù)、幾何與微積分（或函數(shù)理論）相互滲透、相互滋養(yǎng)，并引發(fā)在諸如概率論、數(shù)論和熱的理論等各種不同領(lǐng)域的深入應(yīng)用。隨著數(shù)學(xué)的成熟，它所提出的問(wèn)題也越來(lái)越深刻：本書(shū)選錄的最后兩位思想家哥德?tīng)柡蛨D靈也許提出了最深刻的問(wèn)題什么是可知？數(shù)學(xué)的未來(lái)發(fā)展將一如既往，肯定會(huì)（直接或間接地）影響我們的生活方式和思維方式。古代世界創(chuàng)造了物化的奇跡，例如埃及的金字塔。而正如本書(shū)所闡明的，現(xiàn)代世界的奇跡則是我們自身的理解力。