本書以“為什么要研究數學”為指導思想，以19世紀的分析嚴格化為歷史背景，以病態(tài)函數、曲線和集合的產生為切入點，以分數維數理論和自相似理論的形成、發(fā)展和完善為脈絡，以分形理論的具體應用為指引，以推動分形文化的傳播為導向，力圖從點到面，從外因到內因，從問題到根源，精確梳理分形幾何與集合論、測度論和分析學等數學分支的關系淵源，深刻剖析分形幾何學的創(chuàng)立原因，全面呈現(xiàn)分形幾何學的歷史概貌，進而回答分形幾何學究竟是“如何產生”和“為什么會產生”兩個基本問題。
本書可作為高等院校相關專業(yè)高年級本科生和研究生的參考教材，也可供從事數學史、數學文化和分形幾何研究的工作者，以及教授數學史和分形幾何課程的教師閱讀參考。
第1章 緒論
1.1 分形歷史概覽
1.2 本書的結構框架
第2章 魏爾斯特拉斯與病態(tài)函數
2.1 魏爾斯特拉斯生平簡介
2.2 病態(tài)函數產生的歷史背景
2.3 病態(tài)函數的產生過程
2.4 病態(tài)函數的影響
2.4.1 數學家們的評論
2.4.2 病態(tài)函數對分析和幾何的影響
2.4.3 病態(tài)函數對分形的影響
第3章 康托爾和康托爾集
3.1 康托爾生平簡介
3.2 康托爾集產生的歷史背景
3.3 康托爾集的產生過程
3.4 康托爾集的影響
第4章 科赫與科赫曲線
4.1 科赫生平簡介
4.2 科赫曲線產生的歷史背景
4.3 科赫曲線的產生過程
4.4 科赫曲線的影響
第5章 早期分形中的其他經典
5.1 皮亞諾曲線
5.1.1 皮亞諾生平簡介
5.1.2 皮亞諾曲線的產生過程
5.2 朱利亞集
5.2.1 朱利亞生平簡介
5.2.2 朱利亞集的產生過程
5.3 謝爾賓斯基三角形和門格爾海綿
5.3.1 謝爾賓斯基三角形
5.3.2 門格爾海綿
第6章 豪斯多夫與分數維數
6.1 豪斯多夫生平簡介
6.2 維數概念的演變
6.3 分數維數概念產生的歷史背景
6.3.1 康托爾集測量問題
6.3.2 容量理論的演變
6.3.3 勒貝格測度
6.4 分數維數概念的產生過程
6.4.1 卡拉泰奧多里測度
6.4.2 豪斯多夫測度和分數維數的產生
6.4.3 解決康托爾集測量問題
6.5 分數維數概念的完善
第7章 貝西科維奇和分數維數集
7.1 貝西科維奇生平簡介
7.2 分數維數集的密度性質
7.3 分數維數集的微積分
7.4 分數維數集在實數理論中的應用
7.5 兩類特殊集合的分數維數
第8章 分數維數理論
8.1 布利岡維數
8.2 龐特里亞金一施尼勒爾曼維數
8.3 柯爾莫戈洛夫一契霍米洛夫維數
8.4 法爾科內盒維數
8.5 分數維數的其他經典
8.5.1 信息維數
8.5.2 填充維數
8.5.3 關聯(lián)維數
第9章 自相似理論
9.1 相似和自相似的思想起源
9.1.1 相似的思想起源
9.1.2 自相似的思想起源
9.1.3 經典自相似集
9.2 自相似理論的形成
9.2.1 萊維對自相似性質的系統(tǒng)剖析
9.2.2 莫蘭自相似集思想
9.3 自相似理論的發(fā)展
9.3.1 統(tǒng)計自相似性
9.3.2 不變集和迭代函數系
9.3.3 自仿射分形集
第10章 分形幾何的創(chuàng)立
10.1 分形之父——芒德勃羅
10.1.1 芒德勃羅的成長歷程
10.1.2 芒德勃羅的研究生涯
10.1.3 芒德勃羅的個性與成就
10.2 分形“明珠”——英國的海岸線有多長
10.2.1 海岸線長度問題
10.2.2 分數維數引入
10.2.3 統(tǒng)計自相似性引入
10.2.4 推動分形幾何創(chuàng)立
10.3 分形“圣經”——大自然的分形幾何
10.3.1 分析回顧數學中的分形
10.3.2 討論描述大自然中的分形
10.3.3 創(chuàng)立分形理論
10.4 分形幾何的成因
10.4.1 病態(tài)函數、曲線和集合的激勵
10.4.2 數學理論發(fā)展的推動
10.4.3 實際問題的鞭策
10.4.4 創(chuàng)立者自身的優(yōu)勢
第11章 分形理論的發(fā)展和應用
11.1 分形理論的發(fā)展
11.1.1 奇異吸引子
11.1.2 解析映射的復迭代
11.1.3 多重分形測度
11.1.4 隨機分形
11.2 分形理論的應用
11.2.1 分形理論在自然科學中的應用
11.2.2 分形理論在社會科學中的應用
11.2.3 分形理論在藝術科學中的應用
附錄A 分形幾何發(fā)展歷史大事記
附錄B 芒德勃羅年譜
人名索引
參考文獻
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