電路分析是電路設計、優(yōu)化和應用的基礎，采用拓撲方法求解以元件符號參數描述的符號電路，則是電路理論的一個重要分支。筆者涉及這一課題，經過多年的研究，發(fā)現(xiàn)電路的固有多項式中的有效項與電路圖中滿足一定條件的一對樹有著一一對應的關系，定義了有效樹和有效雙樹的概念，提出并證明了網絡多項式展開的雙樹定理，給出了尋找全部有效樹和有效雙樹并確定其值的展開圖法。該方法直接對電路的拓撲圖進行運算，通過邊的短路、開路、“著色”和“去色”運算，將圖分解、展開、化簡，由圖的展開式得到圖的權表達式，從而得到網絡多項式。該方法適用于包含四種受控源和零任偶等有源元件在內的一般線性有源電路，不出現(xiàn)冗余項，在尋找有效項的同時確定該項的正負系數。本書偏重基礎理論和基本算法，內容獨立完整，知識自主創(chuàng)新，而且自成體系。本書的內容基本是個人原創(chuàng)，定理的證明和展開圖法的完善也是首次公開。
電子電路和集成電路是現(xiàn)代科學與技術發(fā)展的重要成果,電路分析則是電路設計和應用的基礎,其中線性有源電路的分析又是電路分析的基礎.線性非時變集中參數電路的數學模型為線性代數方程組,基于數值運算的線性電路分析理論和方法已經相當成熟和完善.但是數值分析給出的系統(tǒng)響應僅僅是單純的數值或者依據重復計算繪制的波形,不能完整地反映元件參數和系統(tǒng)響應之間的對應關系,更不能反映系統(tǒng)結構和響應的對應關系,因而在很多應用中是無能為力的.符號電路分析用元件的符號參數代替元件的數值參數,求解由元件符號參數組成的符號方程組,得到由符號參數表達式描述系統(tǒng)響應的網絡函數,反映了元件參數與響應的對應關系,廣泛用于電路的設計和優(yōu)化、電路的容差分析和故障診斷等.如果全部元件參數都用符號表示,稱為全符號分析;如果部分元件用符號參數,稱為部分符號分析;如果只是把拉普拉斯算子s 作為符號,那就是s符號分析.與數值分析相比,符號分析是非常困難的任務,計算復雜性隨電路規(guī)模呈指數增長,需要大量的計算時間和內存空間.隨著大規(guī)模集成電路和計算機技術的飛速發(fā)展,電路的計算機輔助分析和設計已成為電路理論的一個重要分支和熱門領域,符號電路分析理論和方法受到重視,得到了快速的發(fā)展.符號電路分析可以采用數值方法,如行列式展開法、多項式插值法和參數抽取法等.這類方法適應于符號參數較少的電路,其結果不能完整地反映電路
參數和結構與系統(tǒng)響應的關系.利用電路的拓撲結構圖,采用圖的運算求得系統(tǒng)響應是符號電路分析的主要方法.常用的拓撲方法有信號流圖法、樹列舉
法、二分圖法(BDD)等.[１４]信號流圖法以Manson公式為代表.它把電路的代數方程轉換為信號流圖,再依據Manson公式,采用圖的運算,分別求得系統(tǒng)函數的分母多項式和分子多項式.信號流圖法適用性好,只要能列出線性代數方程組就能使用,但是計算過程中會出現(xiàn)大量相互抵消的冗余項,而且信號流圖與電路圖的結構相
差甚遠.Coates圖和Milke法對Manson法做了改進,促進了信號流圖法的發(fā)展,但問題并沒有完全解決.[５７]樹列舉法直接在電路圖中尋找滿足一定條件的生成樹,由圖的運算,找到滿足條件的全部生成樹,用樹值(樹支的導納參數積)的代數和表示行列式的值.它的運算對象是電路的拓撲圖或稍加變換的圖,不產生冗余項,因而是符
號電路拓撲分析最有效與最常用的方法[１９].樹列舉法中最著名的當屬雙圖樹法.它由原始電路生成電壓圖和電流圖,然后找出兩圖的共有樹,則全部共有樹的樹支導納乘積的代數和就是該電路節(jié)點導納行列式的展開式.雙圖法采用的圖接近網絡的原圖,而且運算過程中不出現(xiàn)冗余項,因而受到重視,得到廣泛應用.但是雙圖法源于電路的節(jié)點電壓方程,原則上只適用于由導納型元件和電壓控制電流受控源(VCCS)組成的電路.為了改進雙圖法,許多研究者做了大量的工作,發(fā)表了許多文獻,其中主要的改進是將其他類型受控源轉換成電壓控制電流受控源的等效電路,以及使用零任偶元件模型改進和擴展節(jié)點電壓法等.這樣雖然使雙圖法可以用于一
般的有源電路,但增加了圖的規(guī)模,而且不同網絡函數的拓撲公式難以統(tǒng)一.[１０１２]二分圖(BinaryDecisionDiagram,BDD)是便于計算機處理的一種數據
結構,它采用一分二、二分四的結構,逐層逐級分支,構成倒樹狀的結構圖.CJRichardShi等將BDD 用于行列式的展開,提出網絡拓撲分析的DDD(DeterminantDecisionDiagrams)法,發(fā)表了許多論文,成為當時的熱門話題[１３１５].這種方法適合較大規(guī)模的電路,便于計算機計算,但它屬于網絡行列式的圖解法,不是通過電路圖自身的運算求解網絡行列式的方法,因而有一定的局限性.２０世紀７０、８０年代,隨著陳樹柏?網絡圖論及其應用?的出版,在國內
掀起了網絡圖論和符號電路分析的研究熱潮[１６１８].在學習和工作中,作者接雙樹定理和展開圖法———符號電路拓撲分析的一種新方法觸了這方面的知識,并嘗試進行符號電路拓撲分析的學習與研究,從電路的表格方程著手,尋找符號電路分析的新途徑,試圖改進現(xiàn)有的方法.經過多年研究,首先指出有效項的充分必要條件是該符號組合對應的兩個邊集構成網絡的一對樹,進而發(fā)現(xiàn)網絡行列式中有效項與網絡圖中的一對樹有著一一對應的關系,提出有效樹和有效雙樹的概念.接著致力于確定雙樹系數正負的拓撲算法,提出了網絡行列式展開的雙樹定理,并給出了應用雙樹定理分析電路的拓撲方法[１９２１].隨后又借鑒DDD 模式,通過圖的開路、短路和“著色”運算,依照各個元件參數,逐級地將電路圖分解和化簡,構成網絡展開圖,進而由展開圖得到網絡行列式,解決了雙樹定理的算法和應用問題,形成了獨有的展開圖法[２２].以后,雖然沒有放棄研究工作,然而由于本人水平、能力和條件有限,加之２００８年退休,后續(xù)工作沒有什么進展,研究幾乎中斷.前幾年,看到施國勇(ShiGY)等學者提出了適用樹對的概念,采用圖對逐級分解化簡,改進了DDD算法,構成了GPDD (GraphＧPairDecisionDiＧagram)算法,在國際權威期刊上發(fā)表了多篇論文[２３２６],而且出版了專著[２７].作者為此高興,看到自己感興趣的研究課題又有新的進展,與己相近的方法又有重要成果發(fā)表,但又不甘心就此罷休.通過查閱文獻、分析比較后發(fā)現(xiàn),GPDD的理論和方法尚未盡善盡美,還需改進和完善,而且與自己的思路和方法還是有相當大的區(qū)別,不能替代自己的工作,雙樹定理和展開圖法還有立足之地.受他們研究成果的激勵,作者重新開始了中斷多年的研究,并取得新的進展.首先,采用新的思路證明了雙樹定理,使原先篇幅過長、難以理解、沒
能發(fā)表的證明過程得以簡化并更加嚴謹;其次,完善“著色”運算,增加“去色”運算,在圖展開過程中同時解決正負號的難題;另外,多端元件的展開模型和應用也有了新的結果.采取出書的方式,將自己多年的研究成果完整地奉獻給讀者和社會,是本書的用意,也是作者多年的夢想.本書正文包括９章,前５章介紹概念、理論、方法和應用,包括網絡分析和網絡圖論的基礎知識、雙樹的概念及雙樹定理的內容、網絡展開圖的構成、由展開圖獲得網絡多項式的方法、基于雙樹定理和展開圖法的網絡分析應用、多端元件的展開模型和應用等;后４章給出了證明雙樹定理所需的前提、基礎知識和關鍵技術,包括基于２b 表格的網絡方程和行列式的概念、網絡基本關聯(lián)矩陣的屬性和若干引理、各類基本元件的展開模型,在此基礎上,證明了雙樹定理,并闡明了展開圖法的理論依據.最后做了簡要的總結.
由于個人能力和精力有限,本書內容僅限于基礎理論和基本方法的研究,以及電路拓撲分析的應用和舉例,重點在于介紹作者自己的想法和研究成果,
力求講清理論,闡明方法,恰當舉例,解決是什么、為什么及有什么用、怎么用的問題,對此領域研究的歷史和現(xiàn)狀沒有詳盡地論述,對于集成電路的分析
和設計實例也很少涉及.
尹宗謀，男，退休教師，原空軍工程大學理學院教授，現(xiàn)屬西安市軍隊離退休干部管理中心。研究方向為網絡分析和網絡綜合、網絡圖論、電路拓撲學等。
第１章 網絡拓撲分析基礎 ……………………………………………………………… １
１.１ 電路分析基礎………………………………………………………………………… １
１.１.１ 電路和電路元件……………………………………………………………… １
１.１.２ 電路方程的建立和求解……………………………………………………… ３
１.１.３ 網絡函數和網絡參數………………………………………………………… ５
１.１.４ 封閉網絡和增廣網絡………………………………………………………… ６
１.１.５ 網絡行列式的本質一致性…………………………………………………… ８
１.１.６ 網絡固有多項式 …………………………………………………………… １０
１.２ 網絡圖論基礎 ……………………………………………………………………… １１
１.２.１ 圖的一般概念 ……………………………………………………………… １１
１.２.２ 邊的短路和開路運算與找樹的展開圖法 ………………………………… １４
１.２.３ 基本割集矩陣和基本回路矩陣 …………………………………………… １７
１.２.４ 樹偶圖的BT值 …………………………………………………………… １９
第２章 雙樹理論 ………………………………………………………………………… ２５
２.１ 網絡圖的約定 ……………………………………………………………………… ２５
２.２ 有效樹 ……………………………………………………………………………… ２６
２.２.１ 有效樹的定義 ……………………………………………………………… ２６
２.２.２ 尋找有效樹的算法 ………………………………………………………… ２８
２.３ 有效雙樹 …………………………………………………………………………… ２８
２.３.１ 有效雙樹的定義 …………………………………………………………… ２８
２.３.２ 尋找有效雙樹的算法 ……………………………………………………… ３１
２.４ 雙樹定理 …………………………………………………………………………… ３３
２.４.１ 網絡多項式與有效雙樹的關系定理 ……………………………………… ３３
２.４.２ 有效樹的系數定理 ………………………………………………………… ３５
２.４.３ 有效雙樹的系數定理 ……………………………………………………… ３５
２.４.４ 雙樹定理 …………………………………………………………………… ３６
２.５ 基于雙樹定理的網絡分析 ………………………………………………………… ３７
第３章 網絡展開圖 ……………………………………………………………………… ４２
３.１ 圖的運算 …………………………………………………………………………… ４２
３.１.１ 圖的著色運算 ……………………………………………………………… ４２
３.１.２ 圖的去色運算 ……………………………………………………………… ４３
３.１.３ 圖的有效性 ………………………………………………………………… ４５
３.１.４ 圖的運算法則 ……………………………………………………………… ４５
３.２ 元件的展開模型 …………………………………………………………………… ４６
３.２.１ 阻抗和導納 ………………………………………………………………… ４７
３.２.２ E、J、V、C 元件 ………………………………………………………… ４７
３.２.３ 受控源 ……………………………………………………………………… ４９
３.２.４ 零任偶(Nullor)……………………………………………………………… ５０
３.３ 網絡圖的展開 ……………………………………………………………………… ５１
３.３.１ 網絡圖展開的過程和算法 ………………………………………………… ５１
３.３.２ 網絡展開圖的表達式 ……………………………………………………… ５４
３.４ 網絡展開圖的權 …………………………………………………………………… ５５
３.４.１ 運算符的權 ………………………………………………………………… ５５
３.４.２ 路徑的權 …………………………………………………………………… ５６
３.４.３ 網絡展開圖的權 …………………………………………………………… ５７
３.５ 網絡展開圖與網絡多項式 ………………………………………………………… ５８
第４章 基于展開圖的網絡拓撲分析 ………………………………………………… ５９
４.１ 網絡響應的拓撲公式 ……………………………………………………………… ５９
４.２ 網絡函數的拓撲公式 ……………………………………………………………… ６４
４.２.１ 單口網絡的策動點函數 …………………………………………………… ６４
４.２.２ 雙口網絡的傳遞函數 ……………………………………………………… ６６
４.３ 雙口網絡參數的拓撲公式 ………………………………………………………… ６９
４.３.１ Z 參數 ……………………………………………………………………… ７０
４.３.２ Y 參數 ……………………………………………………………………… ７２
４.３.３ H 參數 ……………………………………………………………………… ７３
４.３.４ A 參數 ……………………………………………………………………… ７４
４.４ H(s)的生成 ……………………………………………………………………… ８０
４.５ 參數抽取 …………………………………………………………………………… ８３
第５章 多端元件的展開模型 ………………………………………………………… ８８
５.１ 常用元件的展開模型 ……………………………………………………………… ８８
５.１.１ 理想變壓器 ………………………………………………………………… ８８
５.１.２ 耦合互感 …………………………………………………………………… ９１
５.１.３ 回轉器 ……………………………………………………………………… ９４
５.１.４ 運算放大器 ………………………………………………………………… ９６
５.２ 雙口網絡的展開模型 ……………………………………………………………… ９９
第６章 網絡方程、網絡矩陣和網絡行列式 ……………………………………… １０３
６.１ 基爾霍夫方程和網絡關聯(lián)矩陣…………………………………………………… １０３
６.２ 元件約束方程和網絡參數矩陣…………………………………………………… １０５
６.３ ２b表格方程、網絡矩陣和網絡行列式 ………………………………………… １０８
第７章 網絡關聯(lián)矩陣的拓撲性質…………………………………………………… １１１
７.１ 關聯(lián)矩陣的基本屬性……………………………………………………………… １１１
７.１.１ A 矩陣的列屬性…………………………………………………………… １１１
７.１.２ A矩陣的正則性 …………………………………………………………… １１２
７.１.３ A 矩陣的大子陣和大子式………………………………………………… １１３
７.１.４ A 矩陣的等值初等變換…………………………………………………… １１３
７.２ 列屬性和參考樹的變換…………………………………………………………… １１４
７.２.１ 列屬性的變換……………………………………………………………… １１４
７.２.２ 參考樹的變換……………………………………………………………… １１７
７.３ 刪列和消列運算…………………………………………………………………… １１８
７.３.１ 刪列運算…………………………………………………………………… １１８
７.３.２ 消列運算…………………………………………………………………… １１９
７.４ 大子式detAk非零的充要條件…………………………………………………… １２２
７.４.１ detQk和detBk非零的充要條件 ………………………………………… １２２
７.４.２ detAk非零的充要條件 …………………………………………………… １２３
７.５ 大子式的拓撲公式………………………………………………………………… １２４
７.５.１ 互補大子式detAk ………………………………………………………… １２４
７.５.２ 非互補大子式detAk ……………………………………………………… １２８
第８章 基本元件展開分析 …………………………………………………………… １３５
８.１ 單口元件的展開…………………………………………………………………… １３５
８.１.１ 導納元件Yi ……………………………………………………………… １３７
８.１.２ 阻抗元件Zi ……………………………………………………………… １３８
８.１.３ E 和C 元件 ……………………………………………………………… １３９
８.１.４ J和V 元件………………………………………………………………… １３９
８.２ 雙口元件的展開…………………………………………………………………… １４０
８.２.１ VCCS ……………………………………………………………………… １４０
８.２.２ CCCS ……………………………………………………………………… １４５
８.２.３ VCVS……………………………………………………………………… １４８
８.２.４ CCVS ……………………………………………………………………… １５１
８.２.５ 零任偶……………………………………………………………………… １５４
８.３ 各類元件的展開結果……………………………………………………………… １５５
第９章 雙樹定理的證明 ……………………………………………………………… １５７
９.１ 網絡行列式展開的代數公式……………………………………………………… １５７
９.２ 有效項參數定理證明……………………………………………………………… １５９
９.３ 有效樹系數定理證明……………………………………………………………… １６１
９.４ 有效雙樹系數定理證明…………………………………………………………… １６３
９.５ 展開圖法與雙樹定理……………………………………………………………… １６６
結語……………………………………………………………………………………１６７
參考文獻 …………………………………………………………………………………１７０
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