作者自20世紀(jì)90年代中期就開始關(guān)注數(shù)值流形法（
numerical manifold method，NMM）了，但真正親力
親為地研究NMM是始于2012年冬，彼時(shí)作者剛擔(dān)任了一
個(gè)“973”項(xiàng)目的課題負(fù)責(zé)人。這個(gè)課題的主要任務(wù)是
數(shù)值仿真水電工程中的高陡巖質(zhì)邊坡在全生命周期內(nèi)的
變形和穩(wěn)定性演化，其中涉及巖石破裂過程的模擬。當(dāng)
時(shí)模擬破裂的數(shù)值分析方法有很多，如無網(wǎng)格
Galerkin 法（element-free Galerkin method，EFG
）、擴(kuò)展有限元法（extended finite element
method，XFEM）、離散元法（distinct element
method，DEM）和不連續(xù)變形分析法（discontinuous
deformation analysis method，DDA），以及其他為
此目的而設(shè)計(jì)的方法和軟件，如RFPA系統(tǒng)（rock
failure process analysis system，巖石破裂過程分
析系統(tǒng)）和CDEM（continuum discontinuum element
method，連續(xù)介質(zhì)非連續(xù)單元法）等。選擇NMM完全是
出于個(gè)人的知識結(jié)構(gòu)和審美情趣，我非常慶幸這一選擇
，因?yàn)榻?jīng)過許多專家的共同努力，今天我們可以自豪地
說，NMM已經(jīng)成為當(dāng)今主流的數(shù)值分析方法之一。這樣
說的根據(jù)不僅在于近幾年NMM領(lǐng)域的論文不斷在各主流
期刊上發(fā)表且引用頻次名列前茅，而且“數(shù)值流形法”
已成為一些雜志關(guān)鍵詞庫中的標(biāo)準(zhǔn)關(guān)鍵詞。
本書是基于作者對NMM的理解和所做的部分工作而
寫就的，素材主要來源于作者近年來受邀在海內(nèi)外講授
NMM/DDA的基本講義和部分期刊論文，旨在傳播NMM這一
現(xiàn)代數(shù)值分析方法。
全書共分為三篇。
第一篇介紹數(shù)值流形法基礎(chǔ)知識，由第1章～第4章
組成。
第1章論述Galerkin類數(shù)值方法的變分學(xué)基礎(chǔ)。固
體和結(jié)構(gòu)的有限元法（finite element method，F(xiàn)EM
）可以借助于物理直覺來建立其計(jì)算格式，如波音小組
所采用的直接剛度法。直接剛度法被有土木工程背景的
學(xué)生熟知并樂意接受。但是，直接剛度法無法用于構(gòu)建
NMM和其他Galerkin類現(xiàn)代數(shù)值方法，它們必須以問題
的弱形式或變分提法作為出發(fā)點(diǎn)。因此，針對一些常見
的邊值問題，作者基于自己的心得，給出了建立變分提
法的具體步驟，自以為比現(xiàn)有文獻(xiàn)所介紹的方法更容易
被初學(xué)者掌握。此外，在1.5節(jié)論述了處理本質(zhì)邊界條
件的廣義罰函數(shù)法和廣義拉格朗日（Lagrange）乘子法
。稱之為“廣義”是因?yàn)椴灰�求邊值問題有相應(yīng)的勢能
泛函或里茲（Ritz）變分提法，這對于非自伴算子和一
些非線性問題有特殊的重要性。根據(jù)作者的授課經(jīng)驗(yàn)，
僅學(xué)過直接剛度法有限元的研究生在接受這一章內(nèi)容時(shí)
有一定的困難。但是，欲從事現(xiàn)代工程數(shù)值分析，這是
必須要邁過的坎兒。當(dāng)然，若對Galerkin變分學(xué)有相當(dāng)
的了解，這一章除1.5節(jié)外可以略過不讀。
第2章以二階問題為例，論述了NMM的基礎(chǔ)，引入了
NMM中的一些基本概念，其中，對于數(shù)學(xué)覆蓋中的基本
構(gòu)成元件“片”的幾何形狀沒有做任何特殊的要求。希
望通過本章的學(xué)習(xí)，幫助讀者克服對NMM中“流形”這
一“高大上”名詞的畏懼，了解為何要引入“數(shù)學(xué)覆蓋
”和“物理覆蓋”這些似乎令人心生敬畏的名詞。第2
章實(shí)際上是NMM的核心內(nèi)容。
第3章以我們熟知的有限元網(wǎng)格為數(shù)學(xué)覆蓋來論述
NMM。通過本章的學(xué)習(xí)，讀者會(huì)了解NMM與FEM的聯(lián)系和
區(qū)別，也可進(jìn)一步了解為何NMM能FEM所不能。
第4章論述非有限元覆蓋的NMM。通過本章的學(xué)習(xí)，
可以進(jìn)一步加深對NMM的理解，堅(jiān)信如果用NMM來審視
Galerkin類數(shù)值分析方法，可以解決囿于這些方法難以
解決的重要問題，這將在隨后的章節(jié)中反復(fù)看到。
NMM誕生于1991年（Shi，1991），是作者知曉的
最早基于單位分解來構(gòu)造Galerkin近似解的現(xiàn)代數(shù)值方
法。作者認(rèn)為NMM有兩個(gè)最鮮明的特點(diǎn)，即“升階”和
“切割”�！吧�階”不僅僅是指在片上引入高階多項(xiàng)式
作為片上的局部逼近，而且可以是反映解在片上局部特
性的任何函數(shù)。“切割”是為了反映不連續(xù)，進(jìn)而使
NMM特別適用于在固定格子或數(shù)學(xué)覆蓋上求解一切涉及
運(yùn)動(dòng)界面的問題。無“切割”的NMM實(shí)際上就是單位分
解法（partition of unity method，PUM）。本書的
第二篇和第三篇正是圍繞NMM的這兩個(gè)特點(diǎn)而組織的。
第二篇由第5章～第8章組成，展示了利用NMM的“
升階”功能所解決的計(jì)算力學(xué)中的幾個(gè)著名難題，簡述
如下。
現(xiàn)有的有嚴(yán)格數(shù)學(xué)力學(xué)基礎(chǔ)的單元質(zhì)量矩陣對角化
方法僅適用于線性單元，如果將其應(yīng)用于平面八節(jié)點(diǎn)等
參元等高階單元，會(huì)導(dǎo)致零甚至負(fù)的節(jié)點(diǎn)質(zhì)量，因此不
得不借助于物理直覺來生成其對角質(zhì)量矩陣。計(jì)算力學(xué)
界普遍認(rèn)為現(xiàn)有的高階單元對角質(zhì)量矩陣的生成純粹是
“tricky”。第5章以平面八節(jié)點(diǎn)等參元為例，先將FEM
看成NMM的特例，待在NMM框架下解決問題后，再回到
FEM并用FEM的語言給出相應(yīng)的解決方案。在數(shù)值特性方
面，基于NMM的對角質(zhì)量矩陣甚至優(yōu)于一致質(zhì)量矩陣。
EFG等現(xiàn)代數(shù)值方法在克服了FEM的某些不足的同時(shí)
也帶來了新的問題，其中**的一個(gè)問題便是本質(zhì)條件
的施加變得困難了。已有大量的論文論述這一問題