本書是根據作者多年的教學經驗，在原有講義的基礎上經過修改、補充而成的。書中介紹了公鑰密碼學涵蓋的數論代數基本知識與理論體系：第1章至第6章分別介紹了初等數論基礎知識，主要包括同余、剩余類、原根和連分數的基本理論以及在公鑰密碼學中的應用等；第7章至第9章描述了群、環(huán)、域三個基本的代數結構及其性質；第10章介紹了與密碼學相關的計算復雜性理論及基本數學算法；第11章簡單介紹了格理論及格密碼分析的基本方法。
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目錄
第二版前言
第一版序
第一版前言
第1章 整除 1
1.1 整除的概念 1
1.2 最大公因子與最小公倍數 5
1.3 Euclid算法 10
1.4 求解一次不定方程——Euclid算法應用之一 13
1.5 整數的素分解 14
1.6 使用SageMath進行整除相關的計算 20
習題1 21
第2章 同余 23
2.1 同余的基本概念和基本性質 23
2.2 剩余類與剩余系 26
2.3 Euler定理 31
2.4 Wilson定理 34
2.5 使用SageMath進行同余相關的計算 37
習題2 38
第3章 同余方程 40
3.1 一元高次同余方程的概念 40
3.2 一次同余方程 43
3.3 一次同余方程組與孫子定理 44
3.4 一般同余方程 47
3.5 二次剩余 49
3.6 Legendre符號與acobi符號 52
3.7 使用SageMath求解同余方程 59
習題3 59
第4章 指數與原根 61
4.1 指數及其性質 61
4.2 原根及其性質 64
4.3 指標、既約剩余系的構造 67
4.4 n次剩余 72
4.5 使用SageMath進行指數與原根相關的計算 75
習題4 76
第5章 素數分布的初等結果 78
5.1 素數的基本性質與分布的主要結果介紹 78
5.2 Euler恒等式的證明 81
5.3 弱形式素數定理的證明 83
5.4 素數定理的等價命題 90
5.5 使用SageMath進行素數分布相關的計算 93
習題5 94
第6章 簡單連分數 95
6.1 簡單連分數及其基本性質 95
6.2 實數的簡單連分數表示 98
6.3 連分數在密碼學中的應用——對RSA算法的低解密指數攻擊 103
6.4 使用SageMath進行簡單連分數相關的計算 104
習題6 105
第7章 近世代數基本概念 106
7.1 映射 106
7.2 代數運算 109
7.3 帶有運算集合之間的同態(tài)映射與同構映射 111
7.4 等價關系與分類 112
習題7 113
第8章 群論 114
8.1 群的定義 114
8.2 循環(huán)群 116
8.3 子群、子群的陪集 117
8.4 同態(tài)基本定理 121
8.5 有限群的實例 124
8.6 使用SageMath進行群論相關的計算 127
習題8 128
第9章 環(huán)與域 129
9.1 環(huán)的定義 129
9.2 整環(huán)、域、除環(huán) 131
9.3 子環(huán)、理想、環(huán)的同態(tài) 135
9.4 孫子定理的一般形式 140
9.5 歐氏環(huán) 142
9.6 有限域 144
9.7 商域 145
9.8 使用SageMath進行環(huán)與域相關的計算 148
習題9 151
第10章 公鑰密碼學中的數學問題 152
10.1 時間估計與算法復雜性 152
10.2 素檢測 158
10.3 分解因子問題 160
10.4 RSA問題與強RSA問題 161
10.5 二次剩余 162
10.6 離散對數問題 164
10.7 使用SageMath求解公鑰密碼學中的數學問題 166
習題10 167
第11章 格的基本知識 168
11.1 基本概念 168
11.2 格相關的計算問題 169
11.3 格基約化算法 171
11.4 LLL算法應用 173
11.5 使用SageMath進行格相關的計算 179
習題11 179
參考文獻 181
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