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本套書(shū)對(duì)20世紀(jì)中葉以前出版的美英教科書(shū)（本套書(shū)中稱(chēng)之為“美英早期教科書(shū)”）進(jìn)行了系統(tǒng)地研究，其研究對(duì)象并非某一年出版的某一種或幾種教科書(shū)，而是一個(gè)世紀(jì)、一個(gè)半世紀(jì)，甚至兩個(gè)世紀(jì)間出版的幾十種、上百種，甚至兩百余種教科書(shū)。研究者并不關(guān)心教科書(shū)的外在形式（如欄目、插圖、篇幅等），而是聚焦于教科書(shū)中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，具體從兩個(gè)方向展開(kāi)研究：一是對(duì)概念的不同定義、定理和公式的不同證明或推導(dǎo)方法、法則的不同解釋、定理的不同應(yīng)用以及數(shù)學(xué)史料的呈現(xiàn)方式、教育價(jià)值觀(guān)等進(jìn)行分類(lèi)統(tǒng)計(jì)；二是在研究對(duì)象所在的整個(gè)時(shí)間段內(nèi)，分析不同定義、方法、應(yīng)用等的演變規(guī)律。
本套書(shū)所呈現(xiàn)的研究結(jié)果，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有著豐富的參考價(jià)值。
其一，從一個(gè)世紀(jì)或兩個(gè)世紀(jì)的漫長(zhǎng)時(shí)間里，我們可以很清晰地看到教科書(shū)所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念從不完善到完善的演進(jìn)過(guò)程。例如，無(wú)理數(shù)概念從“開(kāi)不盡的根”到“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”，再到戴德金分割的發(fā)展；函數(shù)概念從“解析式”到“變量依賴(lài)關(guān)系”，到“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”，再到“集合對(duì)應(yīng)法則”的進(jìn)化；棱柱概念從歐氏定義到改進(jìn)的歐氏定義、從基于棱柱面的定義到基于棱柱空間的定義的演變；圓錐曲線(xiàn)從截線(xiàn)定義到幾何性質(zhì)定義、從焦半徑定義到焦點(diǎn)—準(zhǔn)線(xiàn)定義的更替；三角函數(shù)概念從銳角到鈍角，再到任意角的擴(kuò)充，這些正是人們認(rèn)識(shí)概念曲折漫長(zhǎng)過(guò)程的縮影，這種過(guò)程為今日教師預(yù)測(cè)學(xué)生認(rèn)知、設(shè)計(jì)探究活動(dòng)提供了重要參照。
其二，對(duì)于一個(gè)公式、定理或法則，不同時(shí)間出版的不同教科書(shū)往往給出不同的推導(dǎo)或證明，如幾何中的圓面積和球體積公式的證明、代數(shù)中的一元二次方程和等差或等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和的求解、解析幾何中的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、平面三角中的正弦和余弦定理的證明等，通過(guò)對(duì)早期教科書(shū)的考察，可以對(duì)不同方法進(jìn)行歸類(lèi)，并對(duì)方法的演變規(guī)律加以分析，為公式或命題的探究式教學(xué)提供參照，也為“古今對(duì)照”的評(píng)價(jià)方式提供依據(jù)。
其三，不同的教科書(shū)都有自己的邏輯體系，從整體上對(duì)其加以了解，可以幫助教師理解古今教科書(shū)的差異，從而更好地分析和把握現(xiàn)行教科書(shū)，進(jìn)而提升教學(xué)水平。例如，關(guān)于“等腰三角形底角相等”這一定理，不同教科書(shū)的證明方法互有不同，有的采用作頂角平分線(xiàn)的方法，有的采用作底邊上的高線(xiàn)的方法，有的則采用作底邊上的中線(xiàn)的方法，不同方法的背后是不同的邏輯體系。
其四，對(duì)于早期教科書(shū)的研究，有助于教師建立不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，如幾何中的三角形中位線(xiàn)定理與平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理、三角形一邊平行線(xiàn)定理及其逆定理之間的聯(lián)系，解析幾何中的三種圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一性，平面三角中的正弦定理、余弦定理、和角公式和射影公式之間的聯(lián)系，等等。
其五，早期教科書(shū)（特別是20世紀(jì)10年代之后出版的教科書(shū)）留下了豐富多彩的數(shù)學(xué)文化素材，如數(shù)學(xué)價(jià)值觀(guān)、數(shù)學(xué)的應(yīng)用、數(shù)學(xué)的歷史等，這些素材是今日教學(xué)的有益資源，也有助于教師樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀(guān)。

近年來(lái)，HPM視角HPM原指“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國(guó)際研究小組”（The International Study Group on the Relations between the History and Pedagogy of Mathematics），現(xiàn)也泛指“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)之關(guān)系”這一研究領(lǐng)域。所謂“HPM視角”，是指融入數(shù)學(xué)史以?xún)?yōu)化教學(xué)目標(biāo)、促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、改善教學(xué)效果的視角。下的數(shù)學(xué)教學(xué)因其在落實(shí)立德樹(shù)人方面的有效性而受到人們的普遍關(guān)注。HPM教學(xué)理念逐漸深入人心，HPM專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)共同體悄然誕生，越來(lái)越多的教師開(kāi)始嘗試將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)之中。就像具有特定風(fēng)味的一道好菜離不開(kāi)優(yōu)質(zhì)的食材一樣，HPM視角下的一節(jié)好課離不開(kāi)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)史材料，因而數(shù)學(xué)史素材的缺失是開(kāi)展HPM課例研究的主要障礙。
在某一個(gè)數(shù)學(xué)主題上，要獲得足夠的數(shù)學(xué)史素材，就需要開(kāi)展教育取向的歷史研究，而教育取向的歷史研究往往又有兩條路徑，其一是一般發(fā)展史，其二是教育史。以三角形內(nèi)角和定理為例，從泰勒斯的發(fā)現(xiàn)，到畢達(dá)哥拉斯學(xué)派和歐幾里得的證明，到普羅克拉斯避開(kāi)平行線(xiàn)的嘗試，到克萊羅的發(fā)生式設(shè)計(jì)，最終到提波特避開(kāi)平行線(xiàn)的證明，構(gòu)成了定理的一般發(fā)展歷史，而該定理在18—20世紀(jì)幾何教科書(shū)中的呈現(xiàn)，則屬于它的教育史。當(dāng)然，在很多情況下，一般發(fā)展史和教育史也并非涇渭分明，而是多有重疊和交叉。本套書(shū)采取后一條路徑，對(duì)20世紀(jì)中葉以前出版的美英教科書(shū)（本套書(shū)稱(chēng)之為“美英早期教科書(shū)”）進(jìn)行系統(tǒng)的研究。
本套書(shū)的研究對(duì)象并非某一年出版的某一種或幾種教科書(shū)，而是一個(gè)世紀(jì)、一個(gè)半世紀(jì)，甚至兩個(gè)世紀(jì)間出版的幾十種、上百種，甚至兩百余種教科書(shū)。研究者并不關(guān)心教科書(shū)的外在形式（如欄目、插圖、篇幅等），而是聚焦于教科書(shū)中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，具體從兩個(gè)方向展開(kāi)研究：一是對(duì)概念的不同定義、定理和公式的不同證明或推導(dǎo)方法、法則的不同解釋、定理的不同應(yīng)用以及數(shù)學(xué)史料的呈現(xiàn)方式、教育價(jià)值觀(guān)等進(jìn)行分類(lèi)統(tǒng)計(jì)；二是在研究對(duì)象所在的整個(gè)時(shí)間段內(nèi)，分析不同定義、方法、應(yīng)用等的演變規(guī)律。
對(duì)于我的研究生來(lái)說(shuō)，研究早期教科書(shū)時(shí)會(huì)遇到三點(diǎn)困難。
一是文獻(xiàn)數(shù)量龐大。尚未接受過(guò)文獻(xiàn)研究系統(tǒng)訓(xùn)練的研究生，初次面對(duì)數(shù)以百計(jì)的文獻(xiàn)，對(duì)其分析、總結(jié)、提煉能力提出很大的挑戰(zhàn)。實(shí)際上，教科書(shū)研究還不能僅僅局限于教科書(shū)，正如讀者將要看到的那樣，某些主題還涉及出版時(shí)間更早的拉丁文和法文文獻(xiàn)。
二是書(shū)籍版本復(fù)雜。同一作者的同一本書(shū)，其中部分內(nèi)容往往隨著時(shí)間的推移而有變化，如勒讓德的《幾何基礎(chǔ)》先后有28個(gè)版本，后來(lái)的版本往往會(huì)對(duì)某些主題進(jìn)行修訂，比如，關(guān)于命題“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等”的證明，1861年及以前諸版本采用了疊合法，1863年及以后諸版本則拋棄了疊合法而采用弧弦關(guān)系（等弦對(duì)等�。┓�。
又如，關(guān)于線(xiàn)面垂直判定定理，普萊費(fèi)爾《幾何基礎(chǔ)》的第1版(1795)完全沿用了歐幾里得的證明，而1814年、1819年和1822年諸版本則改用勒讓德的證明，1829年的美國(guó)版本又采用了新的等腰三角形證法。

三是歷史知識(shí)缺失。教科書(shū)中所呈現(xiàn)的概念定義、定理證明、公式推導(dǎo)，有些屬于編者的首創(chuàng)，有些卻只是復(fù)制了更早時(shí)期數(shù)學(xué)家的定義、證明或推導(dǎo)方法。如果研究者對(duì)于一個(gè)主題的宏觀(guān)歷史缺乏了解，就會(huì)陷入“只見(jiàn)樹(shù)木，不見(jiàn)森林”的境地，從而難以對(duì)教科書(shū)作出客觀(guān)的評(píng)價(jià)。
盡管如此，早期教科書(shū)研究對(duì)于促進(jìn)作為研究者的職前教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展卻具有十分重要的意義。
首先，聚焦某個(gè)主題、帶著特定問(wèn)題去研究早期系列教科書(shū)，研究者需要祛除心中的浮氣，練好坐冷板凳的功夫。忽略一種教科書(shū)，或浮光掠影、一目十行，都可能意味著與一種獨(dú)特的定義、巧妙的方法或精彩的問(wèn)題失之交臂，唯有潛下心來(lái)一本一本地細(xì)讀，才能獲得客觀(guān)全面的結(jié)果。
其次，文獻(xiàn)研究是任何一項(xiàng)學(xué)術(shù)研究的第一步，早期教科書(shū)研究為文獻(xiàn)研究提供了良好的機(jī)會(huì)，可以提升研究者的文獻(xiàn)駕馭能力和分析、總結(jié)、歸納、提煉能力，為未來(lái)的數(shù)學(xué)教育研究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
再次，盡管研究者受過(guò)大學(xué)數(shù)學(xué)教育，但由于大學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)教育的脫節(jié)，他們對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)往往停留在中學(xué)時(shí)代用過(guò)的數(shù)學(xué)教科書(shū)中，而中學(xué)時(shí)代以應(yīng)試為目標(biāo)的數(shù)學(xué)教學(xué)往往重程序性理解而輕關(guān)系性理解。超越刷題應(yīng)試這個(gè)目標(biāo)來(lái)研究一系列教科書(shū)，走進(jìn)另一個(gè)時(shí)代、另一種文化中的編者的心靈之中，研究者必將能夠跨越大學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的鴻溝，更加深刻地理解有關(guān)知識(shí)。
最后，只有走進(jìn)歷史的長(zhǎng)河中，教師才能感悟自己所熟悉的某種數(shù)學(xué)教科書(shū)，和歷史上任何一種教科書(shū)一樣，都不可能是教科書(shū)的頂點(diǎn)和終點(diǎn)，都只不過(guò)是匆匆過(guò)客，隨著時(shí)間的推移，舊教科書(shū)會(huì)被新教科書(shū)取代，而新教科書(shū)很快又會(huì)成為被取代的舊教科書(shū)。對(duì)早期教科書(shū)的系統(tǒng)研究，將增強(qiáng)研究者的歷史感，開(kāi)闊他們的視野，培育他們的遠(yuǎn)見(jiàn)卓識(shí)。
早期教科書(shū)研究，讓未來(lái)教師更優(yōu)秀！
本套書(shū)所呈現(xiàn)的研究結(jié)果，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有著豐富的參考價(jià)值。
其一，從一個(gè)世紀(jì)或兩個(gè)世紀(jì)的漫長(zhǎng)時(shí)間里，我們可以很清晰地看到教科書(shū)所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念從不完善到完善的演進(jìn)過(guò)程。例如，無(wú)理數(shù)概念從“開(kāi)不盡的根”到“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”，再到戴德金分割的發(fā)展；函數(shù)概念從“解析式”到“變量依賴(lài)關(guān)系”，到“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系”，再到“集合對(duì)應(yīng)法則”的進(jìn)化；棱柱概念從歐氏定義到改進(jìn)的歐氏定義、從基于棱柱面的定義到基于棱柱空間的定義的演變；圓錐曲線(xiàn)從截線(xiàn)定義到幾何性質(zhì)定義、從焦半徑定義到焦點(diǎn)-準(zhǔn)線(xiàn)定義的更替；三角函數(shù)概念從銳角到鈍角，再到任意角的擴(kuò)充，這些正是人們認(rèn)識(shí)概念曲折漫長(zhǎng)過(guò)程的縮影，這種過(guò)程為今日教師預(yù)測(cè)學(xué)生認(rèn)知、設(shè)計(jì)探究活動(dòng)提供了重要參照。
其二，對(duì)于一個(gè)公式、定理或法則，不同時(shí)間出版的不同教科書(shū)往往給出不同的推導(dǎo)或證明，如幾何中的圓面積和球體積公式的證明、代數(shù)中的一元二次方程和等差或等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求解、解析幾何中的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、平面三角中的正弦和余弦定理的證明等，通過(guò)對(duì)早期教科書(shū)的考察，可以對(duì)不同方法進(jìn)行歸類(lèi)，并對(duì)方法的演變規(guī)律加以分析，為公式或命題的探究式教學(xué)提供參照，也為“古今對(duì)照”的評(píng)價(jià)方式提供依據(jù)。
其三，不同的教科書(shū)都有自己的邏輯體系，從整體上對(duì)其加以了解，可以幫助教師理解古今教科書(shū)的差異，從而更好地分析和把握現(xiàn)行教科書(shū)，進(jìn)而提升教學(xué)水平。例如，關(guān)于“等腰三角形底角相等”這一定理，不同教科書(shū)的證明方法互有不同，有的采用作頂角平分線(xiàn)的方法，有的采用作底邊上的高線(xiàn)的方法，有的則采用作底邊上的中線(xiàn)的方法，不同方法的背后是不同的邏輯體系。
其四，對(duì)于早期教科書(shū)的研究，有助于教師建立不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，如幾何中的三角形中位線(xiàn)定理與平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理、三角形一邊平行線(xiàn)定理及其逆定理之間的聯(lián)系，解析幾何中的三種圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一性，平面三角中的正弦定理、余弦定理、和角公式和射影公式之間的聯(lián)系，等等。
其五，早期教科書(shū)（特別是20世紀(jì)10年代之后出版的教科書(shū)）留下了豐富多彩的數(shù)學(xué)文化素材，如數(shù)學(xué)價(jià)值觀(guān)、數(shù)學(xué)的應(yīng)用、數(shù)學(xué)的歷史等，這些素材是今日教學(xué)的有益資源，也有助于教師樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀(guān)。
華東師范大學(xué)出版社的副總編輯李文革先生對(duì)本套書(shū)的出版給予了鼎力支持和重要指導(dǎo)，平萍、宋紅廣、時(shí)東明等多位編輯就本書(shū)中的有關(guān)行文、圖片、數(shù)據(jù)等問(wèn)題提出了寶貴的意見(jiàn)或建議，美編劉怡霖為本書(shū)的版式和封面作了精心設(shè)計(jì)。在此一并致謝。

2021年12月1日

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