本講義共分五個(gè)部分. 第一部分包括前六講, 簡(jiǎn)要介紹了概率論的基本概念、結(jié)論和方法. 第二部分包括第七-十講, 介紹布朗運(yùn)動(dòng)的基本概念和性質(zhì). 第三部分包括第十一-十八講, 其中第十一- 十五講介紹~Ito~隨機(jī)積分的概念及其重要性質(zhì), 例如特別重要的Ito等距、 Ito乘積法則和Ito~鏈?zhǔn)椒▌t. 第十六-- 十八講介紹Ito隨機(jī)微分方程的例子, 以及強(qiáng)解的存在性和唯一性定理. 第四部分包括第十九-二十一講, 介紹隨機(jī)積分概念的推廣, 分別介紹了Stratonovich 隨機(jī)積分, 以及Poisson過程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程理論. 第五部分側(cè)重于介紹隨機(jī)常微分方程和隨機(jī)偏微分方程在隨機(jī)控制、金融、生物數(shù)學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用，最后給出相關(guān)數(shù)值計(jì)算.
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劉見禮為復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院碩士\博士,上海大學(xué)理學(xué)院副教授。主持國(guó)家自然科學(xué)基金2項(xiàng)，教育部博士點(diǎn)基金1項(xiàng)，上海市優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計(jì)劃1項(xiàng)。參與國(guó)家基金3項(xiàng)。發(fā)表學(xué)術(shù)論文24篇，其中SCI論文20篇，國(guó)內(nèi)外多個(gè)雜志審稿人。
目錄
前言
第1部分 概率論與 Brown 運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)
第1講 引言 3
1.1 科學(xué)研究的基本方法 3
1.2 利率 4
1.3 期權(quán)及其定價(jià)問題 5
1.4 隨機(jī)微分方程 7
1.5 Black-Scholes 方程的推導(dǎo) 8
1.6 歷史概述 9
第2講 概率論公理 11
2.1 隨機(jī)性的本質(zhì) 11
2.2 概率空間 11
2.3 例子 13
2.4 Bertrand 悖論 16
第3講 隨機(jī)變量 19
3.1 隨機(jī)變量的概念和例子 19
3.2 關(guān)于一般測(cè)度的積分 21
3.3 隨機(jī)變量的期望、方差及其概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù) 29
第4講 獨(dú)立性、條件期望 (一) 33
4.1 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 33
4.2 獨(dú)立的隨機(jī)變量的性質(zhì) 35
4.3 條件期望 37
第5講 條件期望 (二)、鞅 41
5.1 條件期望的幾何定義 41
5.2 條件期望的性質(zhì) 42
5.3 鞅的定義 44
5.4 鞅不等式 45
第6講 基本概率方法 49
6.1 Chebyshev 不等式 49
6.2 Borel-Cantelli 定理 49
6.3 特征函數(shù) 51
6.4 大數(shù)定律 52
6.5 中心極限定理 55
第7講 Brown 運(yùn)動(dòng)的概念 57
7.1 宏觀描述: 擴(kuò)散 57
7.2 微觀描述: 隨機(jī)游走 59
7.3 Brown 運(yùn)動(dòng)的定義及其有限維分布 62
第8講 Brown 運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì) 65
8.1 白噪聲 65
8.2 高維 Brown 運(yùn)動(dòng) 67
8.3 Brown 運(yùn)動(dòng)的鞅和 Markov 性質(zhì) 68
第9講 Brown 運(yùn)動(dòng)的軌道性質(zhì) 71
9.1 Brown 運(yùn)動(dòng)軌道的 H.lder 連續(xù)性 71
9.2 處處變差無界性 74
第10講 Brown 運(yùn)動(dòng)的構(gòu)造 78
10.1 Haar 函數(shù)和 Schauder 函數(shù) 78
10.2 Brown 運(yùn)動(dòng)的構(gòu)造 81
第2部分 隨機(jī)積分和隨機(jī)微分方程
第11講 Paley-Wiener-Zygmund 隨機(jī)積分 89
11.1 光滑被積函數(shù)的 Paley-Wiener-Zygmund 隨機(jī)積分 89
11.2 稠定有界線性算子的保范延拓 91
11.3 Paley-Wiener-Zygmund 隨機(jī)積分的定義 92
第12講 *WdW 94
12.1 平方變差 94
12.2 Riemann 和的 L2 收斂性 97
第13講 It？隨機(jī)積分及其性質(zhì) 102
13.1 非預(yù)測(cè) σ-域流和相適應(yīng)隨機(jī)過程 102
13.2 簡(jiǎn)單隨機(jī)過程的 It？積分 103
13.3 一般隨機(jī)過程的 It？積分 106
13.4 It？不定積分 108
第14講 It？乘積法則和 It？鏈?zhǔn)椒▌t; Fokker-Planck 方程 112
14.1 It？乘積法則 112
14.2 It？鏈?zhǔn)椒▌t 116
14.3 Fokker-Planck 方程 118
第15講 多元 It？隨機(jī)積分和隨機(jī)微分方程 121
15.1 多元 It？隨機(jī)積分 121
15.2 多元 It？乘積法則和 It？鏈?zhǔn)椒▌t 122
15.3 隨機(jī)微分方程的概念 124
第16講 用 It？法則求解隨機(jī)微分方程 127
16.1 線性隨機(jī)微分方程的例子和解的公式 127
16.2 一類特殊形式的非線性隨機(jī)微分方程的可解性 134
16.3 變量替換求解非線性隨機(jī)微分方程 136
第17講 隨機(jī)微分方程初值問題強(qiáng)解的唯一性和存在性 137
17.1 唯一性 137
17.2 存在性 139
17.3 連續(xù)依賴性 146
第18講 線性隨機(jī)微分方程 148
第19講 Stratonovich 隨機(jī)積分 153
19.1 白噪聲的光滑逼近 153
19.2 Stratonovich 隨機(jī)積分和轉(zhuǎn)換公式 154
第20講 關(guān)于 Poisson 過程的隨機(jī)積分 158
20.1 Poisson 過程及其隨機(jī)積分 158
20.2 鏈?zhǔn)椒▌t 160
20.3 Poisson 隨機(jī)積分的鞅的性質(zhì) 161
20.4 定理 1 的證明 164
第21講 Poisson 過程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程 171
21.1 解的存在性和唯一性定理 171
21.2 線性 Poisson 隨機(jī)微分方程 177
第3部分 隨機(jī)微分方程的應(yīng)用及數(shù)值計(jì)算
第22講 停時(shí)和 Feynman-Kac 公式 183
22.1 停時(shí) 183
22.2 停時(shí)作為積分限的 It？隨機(jī)積分 186
22.3 帶停時(shí)的 It？公式 186
22.4 Feynman-Kac 公式 188
第23講 最優(yōu)停時(shí)與動(dòng)態(tài)規(guī)劃 192
23.1 最優(yōu)停時(shí)問題 192
23.2 價(jià)值函數(shù)的求解 193
23.3 利用價(jià)值函數(shù)求解最優(yōu)停時(shí) 195
第24講 傳染病的隨機(jī)微分方程模型 197
24.1 確定性模型 197
24.2 帶隨機(jī)效應(yīng)的傳染病模型 200
第25講 期權(quán)定價(jià)理論 203
25.1 期權(quán)的定義、分類和定價(jià)問題 203
25.2 Black-Scholes 公式 204
25.3 Black-Scholes 公式的推廣: 支付紅利情形 209
25.4 Black-Scholes 方程的數(shù)值求解: 差分格式 211
第26講 隨機(jī)微分方程的數(shù)值求解方法 215
26.1 顯式數(shù)值方法 215
26.2 隱式數(shù)值方法 218
26.3 Brown 運(yùn)動(dòng)及隨機(jī)微分方程的數(shù)值模擬 219
參考文獻(xiàn) 222
索引 224
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