《純數(shù)學(xué)教程》詳細(xì)梳理了經(jīng)典數(shù)學(xué)相關(guān)概念，其知識(shí)框架清晰而有條理，囊括了數(shù)論、代數(shù)、幾何和拓?fù)鋵W(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。全書共分十章，每一章內(nèi)容循序漸進(jìn)、層層深入，從基礎(chǔ)的核心概念講起，提供嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程，以及豐富的例子和習(xí)題。
第一章至第三章介紹了實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)等概念，其中，第二章著重通過圖片展示的方式，直觀地分析與講解抽象的函數(shù)。第四章和第五章引入了極限、連續(xù)、振蕩等概念。第六章至第八章詳細(xì)介紹了微積分的概念和相關(guān)定理證明，如中值定理、達(dá)布定理等，此外，還論述了收斂的判別法。第九章和第十章，從多重角度出發(fā)，給出了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用。
英國第一本數(shù)學(xué)分析書，奠定了20世紀(jì)初數(shù)學(xué)分析課程基礎(chǔ)，
以通俗易懂的數(shù)學(xué)語言全面梳理經(jīng)典數(shù)學(xué)相關(guān)概念，
對(duì)諸多數(shù)學(xué)論證給出了邏輯嚴(yán)密且詳細(xì)的推導(dǎo)過程，知其然更知其所以然。
每章皆收錄大量相關(guān)雜例與數(shù)學(xué)習(xí)題集，供讀者進(jìn)一步了解與鞏固所學(xué)。
概念清晰，內(nèi)容詳實(shí)，從最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念出發(fā)，逐步引導(dǎo)讀者進(jìn)入更復(fù)雜的數(shù)學(xué)世界，讓非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)習(xí)者也能感受到數(shù)學(xué)之美。
譯者序
從1908年初版至今，《純數(shù)學(xué)教程》一共經(jīng)歷了11 次重印或再版，不斷被譯成不同的語言文字， 其在數(shù)學(xué)界的受歡迎程度不言而喻。在無數(shù)次不同語言之間的翻譯過程中，看似是譯者對(duì)本書言語的打磨， 實(shí)則是數(shù)學(xué)思想與邏輯思維的碰撞；不斷修訂的過程， 也是使本書不斷吸收和納入新時(shí)代的數(shù)學(xué)思想與分析方法的過程。這本數(shù)學(xué)著作之所以經(jīng)典，除了本身的學(xué)術(shù)價(jià)值，作者哈代（Hardy）的人格魅力也為其增光添彩。
哈代先生既是著名的數(shù)學(xué)家，又是優(yōu)秀的教育家。他在英國牛津大學(xué)、劍橋大學(xué)任教期間的數(shù)學(xué)成果斐然，在數(shù)論、不等式、級(jí)數(shù)、極限以及微積分計(jì)算等領(lǐng)域中做出了巨大的貢獻(xiàn)，同時(shí)還挖掘了拉馬努金、華羅庚先生等優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家�！都償�(shù)學(xué)教程》的再譯、再版、再印并不僅是出千對(duì)哈代先生的尊重與崇敬，更是因?yàn)檫@是一本暢銷書，具有普及思想的價(jià)值。能夠由我承擔(dān)本書的翻譯工作，為廣大讀者傳播哈代先生的數(shù)學(xué)知識(shí)與邏輯思維， 與讀者一同領(lǐng)略字里行間閃爍的汗漫靈光，何其榮幸！
數(shù)學(xué)，這門學(xué)科從遠(yuǎn)古的計(jì)數(shù)開始，不僅是工具，更是思想。譯者在中國和美國都曾學(xué)習(xí)過高等數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)內(nèi)容差不多，但老師的教學(xué)方法卻略有不同。《純數(shù)學(xué)教程》與國內(nèi)高等院校數(shù)學(xué)教科書的區(qū)別在于一它更為詳盡地描述了公式、定理的推導(dǎo)過程，對(duì)于邊界或限制條件的來源、假設(shè)方式都進(jìn)行了詳細(xì)的考證。非常有意思的是，這本教科書中的很多問題并沒有給出最終答案，而是留給讀者自行思考，似乎讀者得出的答案才是正確答案。這其實(shí)反映了東西方教育的不同理念一結(jié)果導(dǎo)向論vs思維導(dǎo)向論。
譯者在美國參加博士生入學(xué)考試時(shí)，我們所有考生都有著相似的心得體會(huì)：看著出題風(fēng)格尤其是使用的動(dòng)詞，就能大致猜出它出自哪國老師的手筆一如果題目給定限制條件，通過代入公式得到最終結(jié)果的，十有八九是亞洲老師的杰作（題目中最常見的動(dòng)詞為obtain）。這是因?yàn)樵跂|方（如中、日、韓等國）的數(shù)學(xué)教育中，側(cè)重千解決問題（problem-solving），也非常崇尚 打破砂鍋豐到底 的追蹤精神。而與之相對(duì)，歐美數(shù)學(xué)系教授的出題方式往往偏向論述，無限制條件（題目中最常見的動(dòng)詞為describe）。這樣一來，試題往往對(duì)千最后數(shù)值答案的分值設(shè)定不高。東方崇尚的結(jié)果導(dǎo)向論與西方追求的思維導(dǎo)向論，這兩種不同的教育方式，塑造出來的學(xué)生思維風(fēng)格也不盡相同。在此我想要強(qiáng)調(diào)的是，這兩種教育方式并無高下之分，也無對(duì)錯(cuò)之別，只是對(duì)學(xué)生的大腦皮層刺激點(diǎn)以及思維路徑的不同。我們既不可妄自菲薄，也不可驕傲自大�；仡^看來，《純數(shù)學(xué)教程》這本書既是對(duì)數(shù)學(xué)思維的推廣，又是對(duì)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，既具有思維導(dǎo)向性，也具有結(jié)果導(dǎo)向性，讀之將受益無窮。
《純數(shù)學(xué)教程》作為英國 第一本數(shù)學(xué)分析書，對(duì)千數(shù)學(xué)分析的邏輯思路進(jìn)行了統(tǒng)一，直接奠定了數(shù)學(xué)分析課程的基礎(chǔ)。本書將直觀與抽象結(jié)合起來進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，全面梳理了經(jīng)典數(shù)學(xué)的相關(guān)概念，系統(tǒng)闡述了微積分的產(chǎn)生與應(yīng)用，還襄括了劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)課程的習(xí)題集以及解題技巧，適合學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)愛好者閱讀，下面簡(jiǎn)要介紹一下本書的內(nèi)容結(jié)構(gòu)：
全書一共分為十章，內(nèi)容層層遞進(jìn)，邏輯清晰。第一章與第三章進(jìn)行了數(shù)論擴(kuò)充的討論，從有理數(shù)到實(shí)數(shù)，再到復(fù)數(shù)，介紹了其分類關(guān)系、大小比較及相關(guān)定理，尤其是第一章中戴德金分割定理的分析尤為精彩。第二章介紹了函數(shù)的概念，著重以圖像展示的方法來分析函數(shù)，讀者也應(yīng)吸收理解圖像分析這一思想。第四章和第五章開始引入極限、級(jí)數(shù)、連續(xù)、振蕩等相對(duì)晦澀難懂的概念， 并且對(duì)于邊界條件進(jìn)行了分類討論。從第六章到第八章開始詳細(xì)介紹了微積分的概念、相關(guān)定理證明、特殊函數(shù)的積分討論以及收斂的判別法。值得注意的是，此三章通過細(xì)致入微的討論，為19世紀(jì)以來的歐洲數(shù)學(xué)界微積分辯論找到了答案，推薦讀者多次閱讀并熟練使用微積分工具。第九章與第十章針對(duì)常見且重要的對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)進(jìn)行了多重角度分析。
本書的翻譯是譯者在不斷翻閱相關(guān)數(shù)學(xué)資料的基礎(chǔ)上反復(fù)推敲的過程，對(duì)于很多數(shù)學(xué)概念的分析、定理的推導(dǎo)過程及限制條件都進(jìn)行了仔細(xì)的琢磨，譯者也自行對(duì)部分習(xí)題進(jìn)行了驗(yàn)算。在此，我向曾經(jīng)請(qǐng)教過的同事表示衷心的感謝，也向在翻譯過程中給予幫助和指導(dǎo)的編輯們表示感謝。作為一部20世紀(jì)的著作，原文的一些表達(dá)都已過時(shí)，因此譯者盡量使用了最新的數(shù)學(xué)概念與表達(dá)方式進(jìn)行翻譯，便千讀者理解。但由千水平有限，最終譯文難免會(huì)有欠妥之處，懇請(qǐng)各位讀者批評(píng)指正。
戈弗雷·哈羅德·哈代（18771947年），卒于劍橋。英國數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)分析學(xué)派領(lǐng)袖。13歲進(jìn)入以培養(yǎng)數(shù)學(xué)家著稱的溫切斯特學(xué)院，1896年轉(zhuǎn)入劍橋三一學(xué)院，1900年獲史密斯獎(jiǎng)，以后在英國牛津大學(xué)、劍橋大學(xué)任教授。他培養(yǎng)和指導(dǎo)了包括印度數(shù)學(xué)奇才拉馬努金和我國數(shù)學(xué)家華羅庚在內(nèi)的眾多數(shù)學(xué)大家，他所著《純數(shù)學(xué)教程》《數(shù)論導(dǎo)引》《不等式》等在國際數(shù)學(xué)界具有持久而重大的影響力。
譯者序/1
前言/5
第一章實(shí)變量/1
（1）有理數(shù)1
（2）通過線上的點(diǎn)來代表有理數(shù)2
（3）無理數(shù)3
（4）無理數(shù)（續(xù)）6
（5）無理數(shù)（再續(xù)）7
（6）無理數(shù)（三續(xù)）9
（7）無理數(shù)（四續(xù)）10
（8）實(shí)數(shù)11
（9）實(shí)數(shù)之間的大小比較12
（10）實(shí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算14
（11）實(shí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算（續(xù)）15
（12）的研究16
（13）二次方根17
（14）關(guān)于二次方根的一些定理18
（15）連續(xù)統(tǒng)21
（16）連續(xù)實(shí)變量23
（17）實(shí)數(shù)的分割23
（18）極限點(diǎn)25
（19）魏爾施特拉斯定理26
例題集27
第二章實(shí)變量函數(shù)/37
（20）函數(shù)的定義37
（21）函數(shù)的圖形表示法40
（22）極坐標(biāo)41
（23）更多的函數(shù)以及圖形表示的例子42
（24）B.有理函數(shù)44
（25）有理函數(shù)（續(xù)）46
（26）C.顯式代數(shù)函數(shù)47
（27）D.隱式代數(shù)函數(shù)48
（28）超越函數(shù)50
（29）F.其他種類的超越函數(shù)53
（30）包含著單一未知數(shù)的方程圖像解法56
（31）二元函數(shù)以及它們的圖像表示法57
（32）平面曲線58
（33）空間中的軌跡60
例題集63
第三章復(fù)數(shù)/69
（34）直線與平面上的位移69
（35）位移的相同性、位移的數(shù)乘法70
（36）位移的加法71
（37）位移的乘法74
（38）位移的乘法（續(xù)）75
（39）復(fù)數(shù)76
（40）復(fù)數(shù)（續(xù)）78
（41）方程i2=-179
（42）與i相乘的幾何解釋79
（43）方程z2 1=0，az2 2bz c=080
（44）阿爾干（Argand）圖82
（45）棣莫弗定理83
（46）幾個(gè)關(guān)于復(fù)數(shù)的有理函數(shù)定理85
（47）復(fù)數(shù)的根97
（48）方程zn=a的解98
（49）棣莫弗定理的一般形式101
例題集101
第四章正整數(shù)變量對(duì)應(yīng)函數(shù)的極限/109
（50）正整數(shù)變量的函數(shù)109
（51）函數(shù)插值110
（52）有限集和無限集111
（53）對(duì)于大數(shù)值n的函數(shù)性質(zhì)112
（54）對(duì)于大數(shù)值n的函數(shù)性質(zhì)（續(xù)）113
（55）n趨向于無窮的表述114
（56）當(dāng)n趨向于無窮時(shí)n的函數(shù)表現(xiàn)115
（57）當(dāng)n趨向于無窮時(shí)n的函數(shù)表現(xiàn)（續(xù)）117
（58）極限的定義117
（59）極限的定義（續(xù)）119
（60）極限的定義（再續(xù)）119
（61）關(guān)于定義的幾個(gè)基礎(chǔ)要點(diǎn)120
（62）振蕩函數(shù)123
（63）關(guān)于極限的一些定理127
（64）定理1的附屬結(jié)果128
（65）B.兩個(gè)增減趨勢(shì)已知的函數(shù)乘積的增減趨勢(shì)129
（66）C.兩個(gè)增減趨勢(shì)已知的函數(shù)的差或商的增減趨勢(shì)131
（67）定理5132
（68）定理5（續(xù)）133
（69）以n為變量且與n一起遞增的函數(shù)134
（70）對(duì)定理的說明137
（71）魏爾施特拉斯定理的另一種證明137
（72）當(dāng)n趨向于時(shí)xn隨著n變化的極限138
（73）的極限142
（74）一些代數(shù)引理143
（75）的極限145
（76）無窮級(jí)數(shù)146
（77）關(guān)于無窮級(jí)數(shù)的一般定理147
（78）無窮幾何級(jí)數(shù)149
（79）用極限方法來表示連續(xù)實(shí)變量154
（80）有界集合的邊界157
（81）一個(gè)有邊界函數(shù)的邊界158
（82）一個(gè)有邊界函數(shù)的不確定的極限158
（83）有邊界函數(shù)的一般收斂性原則161
（84）無邊界函數(shù)162
（85）復(fù)數(shù)函數(shù)的極限及復(fù)數(shù)項(xiàng)的級(jí)數(shù)163
（86）定理的延伸164
（87）當(dāng)n時(shí)，zn的極限（z是復(fù)數(shù)）166
（88）當(dāng)z是復(fù)數(shù)時(shí)的幾何級(jí)數(shù)1 z z2 …166
（89）符號(hào)O，o，~168
例題集169
第五章一個(gè)連續(xù)變量的函數(shù)極限、連續(xù)函數(shù)與不連續(xù)函數(shù)/179
（90）當(dāng)x趨向于時(shí)的極限179
（91）當(dāng)x趨向于-時(shí)的極限181
（92）第四章第6369課時(shí)的結(jié)論對(duì)應(yīng)的定理182
（93）當(dāng)x趨向于0時(shí)的極限182
（94）當(dāng)x趨向于a時(shí)的極限184
（95）遞增或遞減函數(shù)185
（96）不定元的極限以及收斂原則185
（97）不定元的極限以及收斂原則（續(xù)）187
（98）符號(hào)O，o，~：大、小的級(jí)別對(duì)比192
（99）一個(gè)實(shí)變量的連續(xù)函數(shù)193
（100）一個(gè)實(shí)變量的連續(xù)函數(shù)（續(xù)）195
（101）連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)199
（102）連續(xù)函數(shù)的其余性質(zhì)201
（103）連續(xù)函數(shù)的取值范圍202
（104）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的振蕩204
（105）第103課時(shí)定理2的另一種證明205
（106）直線上的區(qū)間集，海恩-博萊爾（Heine-Borel）定理206
（107）連續(xù)函數(shù)的振幅209
（108）多元的連續(xù)函數(shù)211
（109）隱函數(shù)212
（110）反函數(shù)214
例題集216
第六章導(dǎo)數(shù)與積分/221
（111）導(dǎo)數(shù)或微分系數(shù)221
（112）一些一般性的注解223
（113）一些一般性的注解（續(xù)）226
（114）微分法的一些一般法則227
（115）復(fù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)230
（116）微分學(xué)的記號(hào)230
（117）標(biāo)準(zhǔn)形式232
（118）B.有理函數(shù)235
（119）C.代數(shù)函數(shù)236
（120）D.超越函數(shù)238
（121）高階導(dǎo)數(shù)241
（122）關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的一些一般性定理245
（123）最大值與最小值247
（124）最大值與最小值（續(xù)）249
（125）最大值與最小值（再續(xù)）249
（126）中值定理257
（127）中值定理（續(xù)）259
（128）柯西中值定理259
（129）達(dá)（Darboux）定理260
（130）積分261
（131）實(shí)際的積分問題262
（132）多項(xiàng)式264
（133）有理函數(shù)265
（134）有理函數(shù)的實(shí)際積分268
（135）代數(shù)函數(shù)269
（136）換元積分法和有理化積分法269
（137）由圓錐曲線相連的積分270
（138）積分271
（139）積分272
（140）積分273
（141）分部積分法273
（142）一般的積分，其中y2=ax2 2bx c276
（143）超越函數(shù)280
（144）以x的倍數(shù)的正弦與余弦為變量的多項(xiàng)式280
（145）積分，及相關(guān)的積分281
（146）cosx和sinx的有理函數(shù)281
（147）包含arcsinx，arctanx和logx的積分283
（148）平面曲線的面積284
（149）平面曲線的長(zhǎng)度285
例題集290
第七章微分和積分的其他定理/303
（150）更高階的中值定理303
（151）泰勒定理的另一種形式308
（152）泰勒級(jí)數(shù)310
（153）泰勒定理的應(yīng)用A.求最值312
（154）B.某些極限的計(jì)算312
（155）C.平面曲線的相切315
（156）多變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)320
（157）雙變量函數(shù)微分法322
（158）雙變量函數(shù)微分法（續(xù)）325
（159）雙變量函數(shù)的中值定理326
（160）微分328
（161）定積分和面積計(jì)算332
（162）定積分335
（163）圓的扇形面積，三角函數(shù)336
（164）從定積分作為和的極限來計(jì)算定積分340
（165）定積分的一般性質(zhì)341
（166）分部積分法和換元積分法345
（167）利用分部積分法證明泰勒定理348
（168）余項(xiàng)的柯西形式在二項(xiàng)式中的應(yīng)用349
（169）定積分的近似公式，辛普森公式350
（170）實(shí)變量復(fù)數(shù)函數(shù)的積分352
例題集353
第八章無窮級(jí)數(shù)與無窮積分的收斂/365
（171）前言365
（172）正項(xiàng)級(jí)數(shù)365
（173）正項(xiàng)級(jí)數(shù)（續(xù)）366
（174）這些判別的第一批應(yīng)用366
（175）比值判別法367
（176）德里赫特判別法371
（177）正項(xiàng)級(jí)數(shù)的乘法371
（178）對(duì)于收斂與發(fā)散的額外判別法373
（179）阿貝爾（或普林斯姆）定理374
（180）麥克勞林（或柯西）積分判別法376
（181）級(jí)數(shù)377
（182）柯西并項(xiàng)判別法379
（183）進(jìn)一步的比值判別法380
（184）無窮積分381
（185）取值為正的情形383
（186）替換積分法和分部積分法對(duì)無限積分的應(yīng)用386
（187）其他類型的無窮積分389
（188）其他類型的無窮積分（續(xù)）391
（189）其他類型的無窮積分（再續(xù)）395
（190）正負(fù)項(xiàng)的級(jí)數(shù)397
（191）絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)398
（192）德里赫特（Dirichlet）定理延伸到絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)400
（193）條件性收斂級(jí)數(shù)400
（194）條件性收斂級(jí)數(shù)的收斂判別法401
（195）交錯(cuò)級(jí)數(shù)402
（196）阿貝爾收斂判別法和德里赫特收斂判別法405
（197）復(fù)數(shù)項(xiàng)的級(jí)數(shù)408
（198）冪級(jí)數(shù)409
（199）冪級(jí)數(shù)（續(xù)）410
（200）冪級(jí)數(shù)的收斂域、收斂圈410
（201）冪級(jí)數(shù)的唯一性413
（202）級(jí)數(shù)的乘法413
（203）絕對(duì)收斂無限積分和條件收斂無限積分415
例題集417
第九章實(shí)變量的對(duì)數(shù)、指數(shù)及三角函數(shù)/427
（204）引言427
（205）logx的定義428
（206）logx滿足的函數(shù)等式429
（207）logx隨著x趨向于無窮時(shí)的情況431
（208）當(dāng)x時(shí)x-logx0的證明431
（209）當(dāng)x 0時(shí)logx的性狀432
（210）無窮的尺度，對(duì)數(shù)的尺度432
（211）數(shù)字e435
（212）指數(shù)函數(shù)436
（213）指數(shù)函數(shù)的一般性質(zhì)437
（214）一般冪函數(shù)ax439
（215）ex作為極限的表示法440
（216）logx作為極限的表示法441
（217）常用的對(duì)數(shù)442
（218）級(jí)數(shù)和積分收斂的對(duì)數(shù)判別法449
（219）與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的級(jí)數(shù)，用泰勒定理展開ex454
（220）對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)457
（221）反正切函數(shù)級(jí)數(shù)459
（222）二項(xiàng)級(jí)數(shù)462
（223）建立指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)理論的另一種方法464
（224）三角函數(shù)的分析理論466
（225）三角函數(shù)的解析理論（續(xù)）469
（226）三角函數(shù)的解析理論（再續(xù)）471
例題集472
第十章對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的一般理論/483
（227）單復(fù)變量的函數(shù)483
（228）單復(fù)變量的函數(shù)（續(xù)）484
（229）實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)曲線積分484
（230）的定義485
（231）Log的值486
（232）指數(shù)函數(shù)491
（233）exp的值492
（234）exp滿足的函數(shù)方程492
（235）一般的冪a493
（236）a的一般值494
（237）正弦和余弦的指數(shù)值498
（238）對(duì)于所有的，sin和cos的定義498
（239）推廣的雙曲線函數(shù)499
（240）與，等有關(guān)的公式500
（241）對(duì)數(shù)函數(shù)與反三角函數(shù)之間的聯(lián)系503
（242）expz的冪級(jí)數(shù)505
（243）cosz和sinz的冪級(jí)數(shù)507
（244）對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)509
（245）對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)（續(xù)）510
（246）對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)的一些應(yīng)用，指數(shù)極限513
（247）二項(xiàng)式定理的一般形式514
例題集517
附錄1Hlder不等式和Minkowski不等式/527
附錄2每一個(gè)方程都有一個(gè)根的證明/533
附錄3雙極限問題的注記/540
附錄4分析和幾何中的無窮/543
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