目錄
前言
第1章 有限差分法的基礎(chǔ)知識 1
1.1 偏微分方程的差分離散：一個實例 1
1.2 導(dǎo)數(shù)的差分逼近的截斷誤差 3
1.3 導(dǎo)數(shù)的差分逼近的構(gòu)造方法 4
1.3.1 待定系數(shù)法 4
1.3.2 差分算子法 5
1.4 有限差分格式的一般性要求 8
1.4.1 范數(shù) 8
1.4.2 差分格式的相容性 9
1.4.3 差分格式的收斂性 11
1.4.4 差分格式的穩(wěn)定性 11
1.4.5 Lax等價性定理 13
1.5 von Neumann穩(wěn)定性分析方法 14
1.6 差分格式的修正方程 18
習(xí)題1 22
第2章 一維雙曲守恒律的數(shù)學(xué)性質(zhì) 24
2.1 雙曲型方程簡介 24
2.1.1 雙曲守恒律方程的定義 24
2.1.2 兩個簡單的守恒律示例 26
2.2 流體力學(xué)守恒律方程組.28
2.2.1 一維Euler方程 28
2.2.2 等熵流 31
2.2.3 等溫流 32
2.2.4 淺水波方程 32
2.3 特征線、依賴域和影響范圍 33
2.3.1 特征線和特征線法 33
2.3.2 依賴域和影響范圍 38
2.3.3 雙曲守恒律及其數(shù)值方法的特點 38
2.4 弱解和Rankine-Hugoniot條件 39
2.4.1 非光滑初值問題 39
2.4.2 非線性導(dǎo)致的間斷解 40
2.4.3 弱解的概念和弱解滿足的Rankine-Hugoniot條件 42
2.5 熵解和熵條件 46
2.6 一維標(biāo)量雙曲守恒律熵解的穩(wěn)定性和唯一性 48
2.7 一維標(biāo)量雙曲守恒律的Riemann問題 50
2.7.1 本質(zhì)非線性Riemann問題的解 51
2.7.2 求解一般情況下Riemann問題的凸包方法 52
2.8 一維雙曲守恒律方程組的Riemann問題 54
2.8.1 線性常系數(shù)雙曲型方程組的Riemann問題 54
2.8.2 非線性雙曲守恒律方程組的Riemann問題 56
習(xí)題2 57
第3章 一維雙曲守恒律的經(jīng)典數(shù)值方法 59
3.1 有限體積法的基本形式 59
3.1.1 有限體積法的相容性 61
3.1.2 有限體積法的穩(wěn)定性 61
3.2 守恒律的幾個經(jīng)典格式 62
3.2.1 中心通量格式 63
3.2.2 Lax-Friedrichs格式(1954) 63
3.2.3 Lax-Wendroff格式(1960) 63
3.2.4 Richtmyer兩步Lax-Wendroff格式(1967) 64
3.2.5 MacCormack格式(1969) 65
3.3 迎風(fēng)格式 65
3.4 雙曲型方程組的Godunov方法 69
3.5 波傳播、通量差分分裂和Roe方法 70
3.5.1 一階Godunov方法的波傳播方法表示 70
3.5.2 通量差分分裂和Roe方法 73
3.6 矢通量分裂方法 74
3.6.1 van Leer分裂 75
3.6.2 AUSM分裂 76
3.7 方程組Riemann問題的其他近似解法 77
3.7.1 HLL 近似Riemann解和數(shù)值通量 77
3.7.2 HLLC 近似Riemann解和數(shù)值通量 80
3.8 邊界條件 83
3.8.1 周期邊界條件 84
3.8.2 對流問題 84
3.8.3 波動問題 86
3.9 一維標(biāo)量守恒律單調(diào)格式的數(shù)學(xué)理論 87
3.9.1 守恒型格式的重要性 87
3.9.2 一些常見的守恒型格式 89
3.9.3 單調(diào)格式的數(shù)學(xué)理論 92
習(xí)題3 98
第4章 一維雙曲守恒律的高分辨率方法 100
4.1 通量限制器方法 100
4.2 基于斜率限制器的MUSCL格式 105
4.3 推廣的MUSCL格式 108
4.4 TVB格式 112
習(xí)題4 113
第5章 一維雙曲守恒律的ENO和WENO方法 115
5.1 基于原函數(shù)的重構(gòu) 115
5.2 ENO重構(gòu) 116
5.3 標(biāo)量雙曲守恒律的ENO格式 121
5.3.1 有限體積ENO格式 121
5.3.2 有限差分ENO格式 124
5.4 WENO重構(gòu) 126
5.5 標(biāo)量雙曲守恒律的WENO格式 129
5.5.1 有限體積WENO格式 129
5.5.2 有限差分WENO格式 130
5.6 守恒律方程組的ENO和WENO方法 132
5.7 半離散格式的時間離散方法 133
習(xí)題5 134
第6章 雙曲守恒律的間斷有限元方法簡介 136
6.1 一維標(biāo)量雙曲守恒律的RKDG方法 136
6.1.1 DG空間離散 136
6.1.2 TVD Runge-Kutta時間離散 141
6.1.3 線性情況下的穩(wěn)定性 142
6.1.4 廣義斜率限制器 142
6.2 多維守恒律方程組的RKDG方法 145
6.2.1 方法的數(shù)學(xué)描述 145
6.2.2 算法和實施細(xì)節(jié) 147
6.3 數(shù)值算例 153
習(xí)題6 155
第7章 貼體結(jié)構(gòu)網(wǎng)格生成技術(shù) 156
7.1 坐標(biāo)變換關(guān)系 159
7.1.1 坐標(biāo)變換的度量項及其計算方法 159
7.1.2 度規(guī)張量及坐標(biāo)變換的物理特性 161
7.1.3 正交坐標(biāo)系和保角坐標(biāo)系 162
7.2 一般曲線坐標(biāo)系中流體力學(xué)方程組的強守恒形式 164
7.3 保角變換方法 166
7.3.1 保角變換的概念 166
7.3.2 序列保角映射 167
7.3.3 單步保角映射 169
7.4 代數(shù)映射方法 172
7.4.1 一維拉伸函數(shù)法 172
7.4.2 兩邊界法 174
7.4.3 多面法 176
7.4.4 無限插值法 178
7.5 偏微分方程方法 181
7.5.1 雙曲型方程法 182
7.5.2 橢圓型方程法 183
7.6 網(wǎng)格生成實例 187
習(xí)題7 199
參考文獻(xiàn) 202
索引 207