目錄
前言
第1章 極限的基本求解方法 1
1.1 預(yù)備知識(shí) 1
1.2 等價(jià)無(wú)窮小代換 2
1.2.1 化和差為乘積 4
1.2.2 湊成等價(jià)無(wú)窮小的形式 5
1.2.3 遞推求極限 5
1.3 洛必達(dá)法則 7
1.3.1 結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小代換求解.8
1.3.2 先取對(duì)數(shù) 8
1.3.3 湊成分式再求導(dǎo) 9
1.4 海涅定理 10
1.4.1 指數(shù)對(duì)數(shù)型數(shù)列的極限 11
1.4.2 一類(lèi)特殊平均極限的推廣 11
1.5 麥克勞林公式 13
1.5.1 相減的形式 16
1.5.2 湊成無(wú)窮小的情形 17
1.5.3 復(fù)合函數(shù)的麥克勞林展開(kāi) 18
1.5.4 指數(shù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的極限 19
1.5.5 指數(shù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的漸近展開(kāi) 20
1.6 分子、分母有理化 22
1.6.1 直接有理化 22
1.6.2 湊成分子有理化 22
1.7 迫斂性 23
1.7.1 最大、最小放縮 24
1.7.2 達(dá)布和放縮 26
1.7.3 利用常見(jiàn)不等式放縮 30
1.8 單調(diào)有界定理 32
1.8.1 平均數(shù)列與極限 35
1.8.2 平均值與圓周率 36
1.8.3 調(diào)和數(shù)與歐拉常數(shù) 36
1.8.4 零點(diǎn)的唯一性與漸近性 38
1.9 壓縮映像原理 40
1.10 沃利斯公式與斯特林公式 43
第1章 練習(xí) 46
第2章 斯托爾茨定理及其應(yīng)用 51
2.1 預(yù)備知識(shí) 51
2.2 斯托爾茨定理 52
2.3 與均值相關(guān)的極限 58
2.4 與歐拉常數(shù)類(lèi)似的和式極限 61
2.5 與整數(shù)冪和相關(guān)的極限 62
2.6 與分部求和公式相關(guān)的極限 63
2.7 無(wú)窮小迭代序列的漸近性 65
2.8 無(wú)窮大迭代序列的漸近性 69
2.9 遞推數(shù)列的漸近性 72
第2章 練習(xí) 73
第3章 和式極限的求法與估計(jì) 76
3.1 預(yù)備知識(shí) 76
3.2 和式極限的定積分求法 77
3.2.1 和式極限與定積分轉(zhuǎn)化的原理 77
3.2.2 乘積極限取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為和式極限 80
3.2.3 放縮法結(jié)合迫斂性 80
3.3 求和與極限交換次序 83
3.4 乘積和式極限的求法 86
3.5 和式極限的漸近估計(jì) 87
3.5.1 首次估計(jì) 88
3.5.2 兩項(xiàng)估計(jì) 90
3.5.3 歐拉-麥克勞林公式 91
3.6 和式極限的代換方法 93
3.6.1 無(wú)窮小等價(jià)代換 93
3.6.2 一致等價(jià)替換 95
3.6.3 和式的等價(jià)估計(jì) 100
第3章 練習(xí) 102
第4章 求高階導(dǎo)數(shù)的方法 104
4.1 預(yù)備知識(shí) 104
4.2 積分的求導(dǎo) 107
4.3 反函數(shù)求導(dǎo) 108
4.4 高階導(dǎo)數(shù) 110
4.4.1 先拆項(xiàng)后求導(dǎo) 110
4.4.2 用泰勒公式求導(dǎo) 111
4.4.3 用萊布尼茨公式求導(dǎo) 112
4.4.4 一些高階導(dǎo)數(shù)公式 114
4.4.5 遞推求導(dǎo)法 115
4.4.6 利用布魯諾公式求導(dǎo) 119
第4章 練習(xí) 120
第5章 微分中值定理及其應(yīng)用 124
5.1 預(yù)備知識(shí) 124
5.2 構(gòu)造輔助函數(shù)的方法127
5.2.1 原函數(shù)法 127
5.2.2 積分因子法 130
5.2.3 輔助函數(shù)構(gòu)造形式歸納總結(jié) 133
5.2.4 行列式法 134
5.2.5 常數(shù)K值法 138
5.2.6 含有積分的輔助函數(shù)構(gòu)造 142
5.3 利用中值證明不等式 142
5.4 用中值的估計(jì)求極限 145
5.4.1 增量形式 146
5.4.2 看成整體 146
5.4.3 脫外套 147
5.4.4 和式極限 148
5.4.5 含參量積分的極限 150
5.5 多中值點(diǎn)問(wèn)題 152
5.5.1 可能相等的雙中值問(wèn)題 153
5.5.2 不相等的多中值問(wèn)題 153
5.6 中值的漸近性 160
5.7 零點(diǎn)的存在性與個(gè)數(shù)問(wèn)題 161
第5章 練習(xí) 162
第6章 定積分的基本計(jì)算方法 169
6.1 預(yù)備知識(shí) 170
6.1.1 積分公式 170
6.1.2 三角恒等式 171
6.1.3 萬(wàn)能置換公式 171
6.1.4 和差角公式 172
6.1.5 一些重要的定積分 172
6.2 換元法 173
6.2.1 根式代換 174
6.2.2 三角代換 175
6.2.3 區(qū)間分解 176
6.2.4 倒代換 177
6.2.5 綜合例題 178
6.3 對(duì)稱(chēng)性法 180
6.4 分部積分法 181
6.4.1 基礎(chǔ)題型 182
6.4.2 綜合例題 183
6.4.3 反函數(shù)的原函數(shù) 185
6.5 有理函數(shù)拆分法 187
6.6 遞推法 188
6.6.1 常見(jiàn)的不定積分遞推公式 189
6.6.2 有關(guān)三角函數(shù)方冪的積分 191
6.6.3 可化為三角函數(shù)方冪的積分 192
6.6.4 有關(guān)正弦函數(shù)比的積分公式 194
6.7 區(qū)間再現(xiàn)公式 200
6.7.1 有關(guān)兩個(gè)函數(shù)乘積的積分公式 200
6.7.2 有關(guān)三個(gè)函數(shù)乘積的積分公式 207
6.8 級(jí)數(shù)解法 208
6.8.1 冪級(jí)數(shù)解法 208
6.8.2 傅里葉級(jí)數(shù)解法 210
6.9 綜合應(yīng)用的典型案例 210
6.9.1 含對(duì)數(shù)函數(shù)的定積分 210
6.9.2 分段積分法 215
6.9.3 歐拉積分 217
6.9.4 羅巴切夫斯基積分法 219
第6章 練習(xí).224
第7章 含參量的定積分 231
7.1 預(yù)備知識(shí) 231
7.2 含參量積分求導(dǎo)公式 233
7.3 求導(dǎo)與積分交換次序 234
7.3.1 費(fèi)曼積分法 234
7.3.2 積分符號(hào)下微分法 239
7.4 二重積分交換次序法 243
7.4.1 傅茹蘭尼積分公式 243
7.4.2 積分號(hào)下積分法 247
7.5 歐拉積分 249
7.5.1 基本性質(zhì)與應(yīng)用 249
7.5.2 余元公式 252
7.6 其他經(jīng)典積分 258
7.6.1 狄利克雷積分 258
7.6.2 高斯積分 262
7.6.3 菲涅爾積分 265
7.6.4 拉普拉斯積分 268
7.7 積分與極限交換次序 270
7.7.1 換次序的定理與應(yīng)用 270
7.7.2 無(wú)需交換次序積分的極限 275
第7章 練習(xí) 276
第8章 柯西-施瓦茨積分不等式及其應(yīng)用 279
8.1 預(yù)備知識(shí) 279
8.2 柯西-施瓦茨積分不等式 282
8.3 被積函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)平方的積分不等式 285
8.4 奧爾不等式 288
8.5 被積函數(shù)與其倒數(shù)的積分不等式 289
8.6 利用重積分證明積分不等式 291
第8章 練習(xí) 292
第9章 求級(jí)數(shù)和的方法 295
9.1 預(yù)備知識(shí) 296
9.2 裂項(xiàng)相消法 299
9.2.1 有理形式 300
9.2.2 反正切余切函數(shù) 303
9.2.3 含有調(diào)和數(shù)的級(jí)數(shù)求和 304
9.3 用冪級(jí)數(shù)求和 305
9.3.1 求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的方法 305
9.3.2 利用逐項(xiàng)求積或求導(dǎo)求解 307
9.3.3 柯西乘積公式求和 308
9.3.4 利用冪級(jí)數(shù)證明恒等式 310
9.4 交錯(cuò)級(jí)數(shù)求和 311
9.4.1 1級(jí)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的定積分表示 311
9.4.2 q級(jí)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的定積分表示 312
9.5 歐拉公式求和 313
9.5.1 正余弦數(shù)列求和 314
9.5.2 離散狄利克雷和 315
9.6 用傅里葉級(jí)數(shù)求和 317
9.6.1 利用二次函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)求和 318
9.6.2 利用符號(hào)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)求和 319
9.6.3 利用指數(shù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)求和 320
9.7 構(gòu)造微分方程求解 320
9.7.1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和 320
9.7.2 冪級(jí)數(shù)之和 321
9.7.3 遞推數(shù)列與生成函數(shù) 323
9.8 用二重積分計(jì)算二重級(jí)數(shù) 325
9.9 復(fù)合函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 326
9.9.1 直接展開(kāi)的方法 327
9.9.2 求導(dǎo)后逐項(xiàng)求積或求積后逐項(xiàng)求導(dǎo) 327
9.9.3 求導(dǎo)后利用冪級(jí)數(shù)法 328
9.10 綜合應(yīng)用:解決巴塞爾問(wèn)題的三種方法 330
9.11 綜合應(yīng)用:積分與級(jí)數(shù) 336
第9章 練習(xí) 338
第10章 漸近冪級(jí)數(shù)的復(fù)合及其應(yīng)用 343
10.1 預(yù)備知識(shí) 343
10.2 關(guān)于指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)復(fù)合的漸近冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 345
10.3 三角函數(shù)復(fù)合的漸近冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 348
10.4 復(fù)指數(shù)函數(shù)復(fù)合的漸近冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 354
10.5 方程根的漸近分析 356
10.6 移位漸近冪級(jí)數(shù)的展開(kāi) 359
第10章 練習(xí) 361
參考文獻(xiàn) 362