本書是作者結(jié)合在電子科技大學(xué)為數(shù)學(xué)專業(yè)本科生、研究生及工科各專業(yè)的碩士和博士研究生講授泛函分析課程近十年的教學(xué)經(jīng)驗，編寫的一本泛函分析教材。本書從最基本的概念出發(fā)介紹泛函分析的知識，借助常見“平凡”的例子幫讀者更好地理解泛函分析的概念。內(nèi)容涵蓋泛函分析的基本原理及其在偏微分方程理論、數(shù)值計算方法和最優(yōu)化分析等領(lǐng)域的應(yīng)用實例。全書共九章，包括度量空間、Banach空間、Hilbert空間、對偶空間理論、緊算子和Fredholm算子、有界線性算子的譜理論、Hilbert空間上的無界算子、廣義函數(shù)與Sobolev空間、Lp空間插值。
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蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)博士，電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，教授
目錄
前言
第1章 度量空間 1
1.1 度量空間的定義和基本性質(zhì) 1
1.1.1 度量空間的定義 1
1.1.2 完備性 5
1.2 度量空間中的開集和閉集 15
1.3 綱與Baire綱定理 17
1.4 可分的度量空間 20
1.5 列緊性和緊性 22
1.6 Arzela-Ascoli定理 25
1.7 Banach壓縮映像原理 29
習(xí)題1 35
第2章 Banach空間 41
2.1 Banach空間的定義及重要例子 41
2.1.1 線性空間 41
2.1.2 半范數(shù)與范數(shù) 43
2.1.3 賦范線性空間與Banach空間 46
2.1.4 有限維賦范線性空間與Riesz引理 48
2.2 有界線性算子和有界線性泛函 51
2.3 開映射定理 59
2.4 有界線性算子的逆算子 62
2.5 閉圖像定理與共鳴定理 68
2.6 Hahn-Banach定理 73
2.7 Hahn-Banach定理的應(yīng)用 80
2.7.1 Hahn-Banach 定理的幾何形式 80
2.7.2 凸集分離定理 82
2.7.3 測度問題 83
2.7.4 最佳逼近問題 86
2.7.5 凸集上的最佳逼近元 87
2.7.6 矩量問題 91
2.8 Korovkin定理 94
習(xí)題2 101
第3章 Hilbert空間 110
3.1 內(nèi)積空間與Hilbert空間的定義 110
3.2 正交系和正交基 113
3.3 Riesz表示定理與Lax-Milgram定理 120
3.4 Hilbert空間上的共軛算子 125
3.5 投影定理 129
3.6 投影算子的性質(zhì) 133
3.7 投影算子與不變子空間 141
習(xí)題3 142
第4章 對偶空間理論 151
4.1 幾類重要Banach空間的對偶空間 151
4.1.1 lp的對偶空間 151
4.1.2 Lp(a,b)的對偶空間 154
4.1.3 連續(xù)函數(shù)空間的對偶空間 158
4.1.4 可分Banach空間的對偶空間的可分性 163
4.2 自反的Banach空間 163
4.3 賦范線性空間上的共軛算子 166
4.4 零化子空間與直和分解 168
4.5 弱收斂與弱收斂 170
4.6 算子序列的收斂性 174
習(xí)題4 178
第5章 緊算子和Fredholm算子 182
5.1 緊算子 182
5.1.1 緊算子的定義與基本性質(zhì) 182
5.1.2 有限秩算子 189
5.2 Hilbert-Schmidt算子 196
5.3 Fredholm算子 198
習(xí)題5 203
第6章 有界線性算子的譜理論 206
6.1 有界線性算子譜的定義和基本性質(zhì) 206
6.1.1 有界線性算子譜的定義 206
6.1.2 預(yù)解集的性質(zhì) 208
6.1.3 抽象解析函數(shù)與譜集的非空性 211
6.1.4 譜半徑公式 214
6.2 緊算子的譜理論 215
6.3 Hilbert空間上自伴緊算子的譜理論 220
6.3.1 對弦振動問題的應(yīng)用 225
6.3.2 跡類算子 230
6.4 譜測度、譜系和譜積分 234
6.4.1 譜測度 237
6.4.2 譜系 243
6.4.3 譜系和譜測度的關(guān)系 246
6.5 酉算子的譜分解 247
6.5.1 酉算子的定義 247
6.5.2 酉算子的譜分解 249
6.5.3 L2-Fourier變換 257
6.6 有界自伴算子的譜分解 259
習(xí)題6 266
第7章 Hilbert空間上的無界算子 272
7.1 對稱算子和自伴算子273
7.1.1 稠定算子的共軛算子 273
7.1.2 對稱算子和自伴算子的定義 275
7.1.3 酉等價 277
7.1.4 算子的圖像 279
7.1.5 對稱算子為自伴算子的條件 280
7.2 自伴算子的譜 282
7.2.1 自伴算子的譜的基本性質(zhì) 283
7.2.2 Cayley變換 284
7.2.3 無界函數(shù)的譜積分 287
7.2.4 自伴算子的譜分解定理 290
習(xí)題7 293
第8章 廣義函數(shù)與Sobolev空間 295
8.1 輔助材料 295
8.1.1 記號 296
8.1.2 半范數(shù) 296
8.2 具緊支集的光滑函數(shù) 300
8.3 廣義函數(shù) 304
8.4 緩增分布與Fourier變換 312
8.4.1 Fourier變換 312
8.4.2 Schwartz函數(shù)類 313
8.4.3 緩增分布 317
8.5 Holder空間 320
8.6 整數(shù)階Sobolev空間 321
8.7 Sobolev嵌入定理 326
8.8 實指數(shù)Sobolev空間 335
8.9 跡定理 338
習(xí)題8 340
第9章 Lp空間插值 344
9.1 函數(shù)插值 344
9.2 算子插值 347
9.3 幾個重要的不等式 352
習(xí)題9 354
參考文獻(xiàn) 355
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