前言
離散數(shù)學是研究離散量的結(jié)構(gòu)及其相互關系的數(shù)學學科，是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支，是計算機專業(yè)的核心課程、信息類專業(yè)的必修課程、多數(shù)工科類專業(yè)的重要選修課程.離散數(shù)學在各學科領域，特別在計算機科學與技術(shù)領域有著廣泛的應用，同時離散數(shù)學是學習程序設計語言、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、編譯技術(shù)、人工智能、數(shù)據(jù)庫、算法設計與分析、理論計算機科學基礎、電路分析與邏輯設計等課程必不可少的先修課程.近年來，隨著科學技術(shù)的飛速發(fā)展，計算機科學與技術(shù)、智能科學與技術(shù)、數(shù)據(jù)科學與大數(shù)據(jù)技術(shù)等相關學科專業(yè)正在以驚人的速度不斷迭代發(fā)展，對人類社會的各個領域產(chǎn)生著日益廣泛和深入的影響.離散數(shù)學課程所體現(xiàn)的思想和方法，廣泛地體現(xiàn)在計算機科學、人工智能、大數(shù)據(jù)技術(shù)及相關專業(yè)的諸領域，從科學計算到信息處理，從理論計算機科學到計算機應用技術(shù)，從計算機軟件到計算機硬件，從人工智能到認知系統(tǒng)，從認知系統(tǒng)到生成式人工智能系統(tǒng)等，無不與離散數(shù)學密切相關.通過離散數(shù)學課程的學習，學生不但可以掌握處理離散結(jié)構(gòu)的描述工具和方法，為后續(xù)課程的學習創(chuàng)造條件，而且可以提高抽象思維和嚴格的邏輯推理能力，為將來參與創(chuàng)新性的研究和開發(fā)工作打下堅實的基礎.
離散數(shù)學是邏輯學、集合論(包括函數(shù))、數(shù)論基礎、算法設計、組合分析、
關系理論、圖論、抽象代數(shù)(包括代數(shù)系統(tǒng)，群、環(huán)、域等)、布爾代數(shù)、計算模型(語言與自動機)等匯集起來的一門綜合學科.多數(shù)工科專業(yè)的離散數(shù)學課程主要內(nèi)容包括四個部分：數(shù)理邏輯、集合與關系、代數(shù)系統(tǒng)、圖論基礎等.①數(shù)理邏輯是邏輯學的一個核心內(nèi)容，它是研究思維形式及思維規(guī)律的基礎，也就是研究推理過程規(guī)律的科學.數(shù)理邏輯是用數(shù)學方法來研究推理的規(guī)律，這里所指的數(shù)學方法，就是引進一套符號體系的方法，在其中表達和研究推理的規(guī)律.②集合論的起源可以追溯到19世紀末期，德國數(shù)學家康托爾在《數(shù)學雜志》上發(fā)表了關于無窮集合論的第一篇革命性文章，奠定了集合論的基礎.集合不僅可以用來表示數(shù)及其運算，更可以用于非數(shù)值信息的表示和處理，有些問題很難用傳統(tǒng)的數(shù)值計算來處理，但可以用集合運算來處理，在程序語言、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、編譯原理、數(shù)據(jù)庫與知識庫、形式語言和人工智能等領域中都得到了廣泛的應用，并且還得到了發(fā)展，如Zadeh提出的模糊集理論和Pawlak提出的粗糙集理論.③代數(shù)系統(tǒng)是抽象代數(shù)的一個重要內(nèi)容，除了數(shù)理邏輯外，對計算科學最有用的數(shù)學分支學就是代數(shù)，特別是抽象代數(shù)，在許多實際問題的研究中都需要用某種數(shù)學結(jié)構(gòu)來構(gòu)造數(shù)學模型.代數(shù)系統(tǒng)就是一種很重要的數(shù)學結(jié)構(gòu)，主要包括半群、群、環(huán)、域、格與布爾代數(shù)等，半群理論在自動機理論和形式語言中發(fā)揮了重要作用，有限域理論是編碼理論的數(shù)學基礎，在信息通信中起著重要作用，格和布爾代數(shù)是電子線路設計、計算機硬件設計和通信系統(tǒng)設計的重要作具.④圖論是離散數(shù)學的重要組成部分，是近代應用數(shù)學的重要分支.1736年是圖論歷史元年，因為在這一年瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)表了圖論的首篇論文——《哥尼斯堡七橋問題無解》，標志著圖論的誕生.作為描述事物之間關系的手段或稱工具，圖論在許多領域，諸如計算機科學、物理學、化學、運籌學、信息論、控制論、人工智能、計算機網(wǎng)絡、社會科學以及經(jīng)濟管理、軍事、國防、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等方面都得到廣泛的應用，也正是因為在眾多方面的應用，圖論自身才得到了非常迅速的發(fā)展.
本書結(jié)合信息類工科學生培養(yǎng)方案對應的課程體系與知識體系，尤其是計算機科學與技術(shù)、軟件工程、智能科學與技術(shù)、數(shù)據(jù)科學與大數(shù)據(jù)技術(shù)和人工智能等相關專業(yè)，針對這類專業(yè)后繼課程知識銜接的需要，融合離散數(shù)學的重要內(nèi)容，在編者團隊二十多年離散數(shù)學教學實踐的基礎上，在學校離散數(shù)學重點課程建設和精品課程建設的基礎上，在我們出版的《離散數(shù)學》（機械工業(yè)出版社，2010年）教材和《離散數(shù)學及其應用》（清華大學出版社，2016年）基礎之上，借鑒了國內(nèi)外眾多離散數(shù)學教材的優(yōu)點（尤其是工科類教材），
針對信息類工科學生學科專業(yè)特點，反復調(diào)研，充分論證，結(jié)合教學團隊在教學和科研方面多年的成果編寫而成.本書在力求介紹離散數(shù)學基礎知識的前提下，簡明扼要、通俗易懂地介紹相關內(nèi)容，注重理論聯(lián)系實際，融入啟發(fā)式教學理念和課程思政元素，使得教師教學和學生自學渾然一體，著重培養(yǎng)學生的自學能力和創(chuàng)新能力.本書的特點如下：內(nèi)容深入淺出，知識點脈絡清晰，通俗易懂；基礎理論與實際問題相結(jié)合，變抽象思維為形象思維，提高學生知識應用的綜合能力和創(chuàng)新實踐能力；重點突出知識的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，注重培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學思維能力；編寫內(nèi)容普適性強，便于工科學生考研復習.
離 散 數(shù) 學
前言
全書共分為四個部分.其中，第1部分為數(shù)理邏輯，由蔣觀敏和張清華等人編寫，第2部分為集合論，由張清華和尹邦勇等人編寫，第3部分為代數(shù)結(jié)構(gòu)，由劉勇杉和劉勇等人編寫，第4部分為圖論，由楊映雪、蒲興成和張清華等人編寫.
本書的出版得到了重慶郵電大學規(guī)劃教材建設項目（JCZ 2024-13）、重慶市高等教育教學改革研究重點項目和重慶郵電大學學科專業(yè)建設項目等的資助
，還得到了陳六新和方長杰等老師和部分研究生（趙凡、郭芮利等）的幫助.特別感謝楊春德、朱偉、鮮思東教授
為本書提出的寶貴修改意見和建議.感謝為本書出版做出貢獻的同志們！最后，還要特別感謝機械工業(yè)出版社湯嘉編輯的大力支持，使得本書得以順利出版.
本書的講義在重慶郵電大學等多所高校多次講授，反復修改，但由于編者水平所限，加之時間倉促，書中難免有不妥或錯誤之處，懇請廣大讀者批評指正.
編者