幾乎沒有什么數學概念(如果有的話)能像黃金分割那樣對我們視覺和智力生活產生多方面的影響。黃金分割的最簡單形式是指將一條給定的線段分割成一個獨特的比例,從而使我們得到審美上的愉悅。構成這個比例的方式如下:分割后較長的線段(l)與較短的線段( s )之比,等于原來的整條線段(l s)與分割后較長的那段線段之比。這可以寫成符號形式l/s=(l s)/l
讓我們考慮一個長為l、寬為s ,長寬比為黃金分割的矩形。我們稱之為黃金矩形。這個名字來源于其形狀上顯而易見的美,而這一觀點得到了來自各種文化的心理學研究的支持。黃金矩形這一形狀除了可以在許多著名的古典藝術作品中,也可以在眾多的建筑杰作中找到。
當從數值的角度來看待黃金分割時,它似乎滲透到了數學的方方面面。我們選擇了黃金分割的各種表現形式,使讀者能夠領會到數學之美和數學的力量。在某些情況下,我們的努力將為讀者打開新的視野;而在另一些情況下,對于一些也許沒有從這個不同尋常的特殊視角考慮過的數學領域,我們的努力將豐富讀者對這些領域的理解和欣賞。例如,黃金分割比(通常由希臘字母表示)這個值的獨特之處在于它與它的倒數相差1,即-1/=1。這一不尋常的特性催生出大量令人著迷的屬性,并與斐波那契數和畢達哥拉斯定理這樣一些熟悉的主題真正地交織在一起。
在幾何學領域中,黃金分割的應用幾乎比比皆是,而這些應用的美也是無限的。為了充分欣賞它們帶來的各種視覺美,我們將帶你經歷一段幾何體驗之旅,其中包括一些相當不尋常的構建黃金分割的方法,此外還要去探索許多有黃金分割嵌入其中的、令人驚訝的幾何圖形。然而,所有這些只要求讀者還記得一些高中的幾何基礎知識。
現在就請加入我們,讓我們一起踏上這趟奇妙的旅程,領略黃金分割的眾多精彩表現,從公元前2560年開始一直到現在的種種見聞。我們希望在這趟數學之旅中,你會逐漸理解德國著名數學家和科學家開普勒的名言,他說:幾何學中有兩大寶藏:其一是畢達哥拉斯定理,其二是黃金分割。我們可以把前者比作大量黃金,后者堪比一顆無價的寶石。這顆無價的寶石會令我們充實,給我們帶來樂趣,會使我們著迷,也許還會為我們打開一扇通往有著意想不到的前景的新大門。