前言：為什么是五角
對于古往今來的許多數(shù)學(xué)家而言，五角是個(gè)散發(fā)著奇特魅力的詞我不是在說美國國防部所在的五角大樓,而是字面意義上的、由五條邊組成的五邊形,以及由其對角線相連而成的五角星。
墨菲(RichardMurchie)
1959年9月14日，蘇聯(lián)的月球2號(hào)探測器墜落在月球表面的雨海盆地以東，成為首個(gè)在月球表面實(shí)現(xiàn)硬著陸的航天器。探測器攜帶了兩個(gè)直徑分別為15厘米和9厘米的裝飾球(圖1),它們由刻有字母和蘇聯(lián)盾徽的五邊形金屬獎(jiǎng)?wù)缕唇佣�成。在探測器與月球表面發(fā)生撞擊時(shí)，金屬球被撞碎，這些五邊形的獎(jiǎng)?wù)戮碗S之散落在著陸點(diǎn)附近，成為人類首次地外之旅時(shí)發(fā)送的名片。
五邊形的歷史可以追溯到大約2500年前。公元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家們認(rèn)為五邊形有著特殊的魔力，能為人們帶來好運(yùn)和財(cái)富。他們把五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)依次連接，組成五角星的形狀，并以此作為學(xué)派內(nèi)部的問候標(biāo)志²。時(shí)間流逝，而圍繞在五角星周圍的神秘色彩卻并未消散。在中亞、北非等許多地區(qū)的穆斯林清真寺里，五角星和六角星的裝飾隨處可見(彩插15),甚至摩洛哥的市政旗子上也有五角星(彩插8)。
通常而言，我們在說五邊形時(shí)，其實(shí)是在說正五邊形它的每條邊、每個(gè)角都相等。正五邊形的側(cè)邊向外凸出，看上去不如正方形、正六邊形或者正八邊形那么優(yōu)美對稱、賞心悅目。不過，實(shí)際并非如此。假如我們對某個(gè)圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后，其形狀保持不變，那么可以稱其具有對稱元素。正五邊形有十個(gè)對稱元素,其中包括5次旋轉(zhuǎn)(每次繞其中心旋轉(zhuǎn)72)和5次翻轉(zhuǎn)(其對稱軸是經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)及其對邊的垂線)。相比之下，正方形只有八個(gè)對稱元素(4個(gè)90的旋轉(zhuǎn)，兩條對角線以及兩條對邊中點(diǎn)的連線)。由此可見，看上去更對稱的不一定真的更對稱。隨著本書的展開，我們還將進(jìn)一步研究五邊形和五角星的其他許多并非顯而易見的特性。
正五邊形在對稱性上不遑多讓，但在密鋪性上毫無疑問是落敗的。密鋪是一個(gè)重要的幾何特性，指用形狀、大小完全相同的圖形進(jìn)行拼接，使彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片。這是因?yàn)檎�五邊形的每個(gè)內(nèi)角都是108,而360不是108的整數(shù)倍。如此一來，拼接處要么留下空隙，要么出現(xiàn)重疊。所以，正五邊形是無法實(shí)現(xiàn)密鋪的。
可如果我們稍微放寬限制，不要求五邊形的每條邊、每個(gè)角都相等呢?如果一個(gè)凸五邊形只用重復(fù)和翻轉(zhuǎn)自身即可不重疊、無間隙地密鋪滿整個(gè)平面，那么幾何學(xué)家就稱其為可密鋪五邊形。幾個(gè)世紀(jì)以來，人們已經(jīng)知道一些不規(guī)則的凸五邊形可以密鋪平面，而對它們的系統(tǒng)性探索，則是現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最激動(dòng)人心的故事之一。迄今為止，人們已經(jīng)找到了15種，并且信誓旦旦地表明所有可密鋪五邊形都已經(jīng)被找到了!在本書第7章，我們將了解這些可密鋪五邊形的發(fā)現(xiàn)歷程。要知道，其中有四種可密鋪五邊形是由一位只上了一年高中數(shù)學(xué)課的家庭主婦發(fā)現(xiàn)的!
不過，讓我們暫且回到正五邊形的話題。如果你把正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)與其中心(更準(zhǔn)確地說，是這個(gè)正五邊形外接圓的圓心)相連，就會(huì)得到一個(gè)新的圖形。這個(gè)圖形沒有專屬的名稱，我們姑且引用生物學(xué)名詞，稱之為五重輻射。這種五重輻射的樣式在大自然中非常常見許多花和海洋生物都由五個(gè)相似的部分組成，具有五重輻射對稱性
(彩插1、2、10)。除了自然界以外，人類世界里也不乏這樣的設(shè)計(jì)：克萊斯勒的五星勛章車標(biāo)曾一度遍布大街小巷，一些汽車輪轂被設(shè)計(jì)成五重輻射造型。古代的日本社會(huì)里，名門貴族們常有專屬的家徽,這些家徽常常是具有五重輻射特性的花卉或幾何造型(圖2)。慢慢地，家徽不再是王侯貴族們的專屬，而成為日本民族中廣為流傳并且延續(xù)至今的習(xí)俗³。在西方社會(huì)，中世紀(jì)城堡常常具有五重輻射造型城堡位于中心，五角各有瞭望塔。本書第9章就會(huì)為你展示這樣一座城堡，這座城堡歷盡滄桑而得以完好保存至今，實(shí)屬珍貴。當(dāng)然，我們也不能忘了全世界最出名的那座具有五重輻射造型的堡壘位于美國弗吉尼亞州阿靈頓的五角大樓。這座緊鄰華盛頓特區(qū)的國防部辦公大樓無論在造型上，還是在戰(zhàn)略地位上，都是令人無法忽視的存在。
在各種藝術(shù)作品里，我們也常常可以看到五邊形的身影。圖3是丟勒(AlbrechtDirer)的代表作之一《憂郁》(Melencolia)。這幅作品刻畫了一位天使?fàn)钌倥�苦思冥想的神態(tài)，而她身邊則是一個(gè)多面體。從畫面來看，這個(gè)多面體有六個(gè)五邊形(盡管是不規(guī)則五邊形)面和兩個(gè)三角形面。這個(gè)與眾不同的多面體也因此被稱為丟勒多面體。不過，關(guān)于這個(gè)多面體(和圖中所繪的其他幾個(gè)幾何體)到底是什么樣子的、有什么含義，目前藝術(shù)界和數(shù)學(xué)界仍有爭議?。彩插3展示的彩色玻璃窗屬于德國邊境小鎮(zhèn)布賴薩的斯蒂芬斯大教堂，這是一座有著五邊形設(shè)計(jì)的哥特式教堂，始建于12世紀(jì)。在當(dāng)代，達(dá)利(SalvadorDali,19041989)于1955年創(chuàng)作了《最后的晚餐圣禮》(SacramentoftheLastSupper)。這幅超現(xiàn)實(shí)主義作品描繪的情景似乎發(fā)生于一個(gè)十二面體內(nèi)。正十二面體是五種柏拉圖立體之一，由12個(gè)正五邊形組成。關(guān)于這幅畫，本書第3章還將進(jìn)一步介紹。
1982年，人們發(fā)現(xiàn)了一種全新的礦物質(zhì)晶體。這種晶體具有十重輻射對稱性(所以當(dāng)然也具有五重輻射對稱性)。在此之前，人類發(fā)現(xiàn)的所有晶體都是二、三、四、六重輻射對稱，從來沒有發(fā)現(xiàn)過其他對稱形式。因此，當(dāng)時(shí)的科學(xué)界認(rèn)為這種對稱形式的晶體不可能存在。這一晶體直到10年后才終于被承認(rèn)，并為其發(fā)現(xiàn)者、以色列理工學(xué)院的謝赫特曼教授贏得了諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)的榮譽(yù)。本書第8章將詳細(xì)講述發(fā)現(xiàn)這一晶體的故事。
當(dāng)我每天早晨醒來時(shí)，第一樣映入我眼簾的東西便是天花板上的五葉吊扇。我會(huì)想象這五片扇葉旋轉(zhuǎn)所形成的圓，一個(gè)正五邊形內(nèi)接于它，而這五片扇葉所對應(yīng)的五條半徑即為圓心到正五邊形各頂點(diǎn)的距離。半夢半醒之間，我會(huì)放任思緒飄蕩古希臘人是怎么只用直尺和圓規(guī)就畫出正五邊形的呢?據(jù)說，柏拉圖(Plato,約公元前427前347)早在公元前400年就做到了這一點(diǎn)。畫出正五邊形可比畫出等邊三角形、正方形或者正六邊形難多了。實(shí)際上，五邊形的難體現(xiàn)在方方面面：怎么畫出正五邊形、怎么計(jì)算它的對角線、怎么計(jì)算它的面積，等等。古希臘人想必是被難到七倒八歪，才會(huì)賦予這個(gè)圖形如此多的神秘色彩吧!想要構(gòu)建五邊形，核心秘密在于黃金分割比(也稱黃金比例)。黃金比
例的數(shù)值約為1.618*,常以希臘字母表示。本書第2章、第3章將重點(diǎn)講述與黃金分割相關(guān)的故事。
我們一輩子都在從事幾何學(xué)相關(guān)的研究，深感幾何不僅僅是數(shù)學(xué)，而且也是歷史和文化的一部分。而在這之中，五邊形與五角星的故事又占據(jù)著不可或缺的一席之地。本書以圖文結(jié)合的方式講述五邊形和五角星的數(shù)學(xué)本質(zhì)、歷史及其在自然界和人類藝術(shù)以及建筑中的存在，希望讀者們能夠感興趣。此前，我們出版了《美麗的幾何》(BeautifulGeometry)。本書和前者一樣，都只涉及了初等數(shù)學(xué)。這里所說的初等,大約是高中的幾何、代數(shù)難度。本書的文字部分由我撰寫，圖片部分由黑白的配圖。我們誠摯地希望各位讀者能夠喜歡本作品。
在此，我們還要感謝以下人員在撰文和配圖中過程中提供的幫助，他們是：PaulCanfield,RonLifshitz,OdedLipschits,IvarsPeterson,PhilipPois-sant,PeterRaedschelders,PeterRenz,KathyRice,MosheRishpon,DorisSchattschneider,DanieldaanStrebe,BethThompson,SatomiUffel-mannTokutome以及DouglasJ.Wilson。此外，我們還要感謝始終支持本書創(chuàng)作的普林斯頓大學(xué)出版社的工作人員，以及提供了許多寶貴建議和意見的匿名審稿人。最后，我還要感謝我的愛妻達(dá)莉亞自始至終，她一直在我身邊，陪伴我、鼓勵(lì)我、支持我完成本書的創(chuàng)作，給予我靈感和建議。在此，我們誠摯地向以上各位致謝!
最后，關(guān)于本書的尾注，我們還有一句小小的補(bǔ)充：當(dāng)我們在文中直接引用了已在參考書目中列出的文獻(xiàn)時(shí)，尾注中就只簡單列出標(biāo)題和作者姓名；否則，就會(huì)給出完整的文獻(xiàn)來源信息。
馬奧爾
于耶路撒冷和圖恩
2022年1月