目錄
第二版前言
第一版前言
第一部分 二階線性偏微分方程
第1章 波動方程 3
1.1 弦振動方程的導出與定解條件 3
1.1.1 弦振動方程的導出 3
1.1.2 定解條件 8
1.1.3 偏微分方程分類概述 9
1.2 弦振動方程柯西問題的求解 10
1.2.1 達朗貝爾公式 11
1.2.2 達朗貝爾公式的物理意義與特征線 13
1.2.3 半無限長弦振動方程的求解 15
1.2.4 齊次化原理 19
1.3 分離變量法 21
1.3.1 初邊值問題的提法 21
1.3.2 分離變量法 22
1.3.3 分離變量法解的物理意義 27
1.3.4 非齊次方程初邊值問題的求解 28
1.4 高維波動方程.30
1.4.1 薄膜振動方程的導出 30
1.4.2 定解問題提法 34
1.4.3 高維波動方程柯西問題的解及其基本性質 35
1.5 波動方程解性質的討論.39
1.5.1 能量表達式 39
1.5.2 波動方程解性質分析.40
課后習題 42
第2章 熱傳導方程 48
2.1 熱傳導方程的導出與定解條件 49
2.1.1 熱傳導方程的導出 49
2.1.2 熱傳導方程的定解條件.51
2.1.3 擴散過程的數(shù)學描述.52
2.2 柯西問題的求解與積分變換法 53
2.2.1 卷積與傅里葉變換 53
2.2.2 熱傳導方程柯西問題的求解 55
2.2.3 柯西問題解性質分析.58
2.2.4 熱傳導方程柯西問題的齊次化原理 59
2.3 分離變量法 62
2.3.1 熱傳導方程初邊值問題的分離變量法 62
2.3.2 施圖姆–劉維爾型方程及其性質 67
2.3.3 齊次化原理 71
2.4 熱傳導方程解的性質 71
2.4.1 極值原理 71
2.4.2 熱傳導方程初邊值問題解的唯一性 73
2.4.3 熱傳導方程初邊值問題解的穩(wěn)定性 74
課后習題 74
第3章 泊松方程 77
3.1 泊松方程與調和方程 77
3.1.1 表達式 77
3.1.2 物理背景 78
3.1.3 泊松方程的定解條件.82
3.2 變分原理 84
3.3 調和方程極坐標系表達與徑向解 88
3.3.1 拉普拉斯算子極坐標系表達 88
3.3.2 調和方程的徑向解 89
3.4 格林函數(shù)法 91
3.4.1 格林公式的應用 91
3.4.2 格林函數(shù)法求解泊松方程 95
3.4.3 格林函數(shù)的性質與討論.96
3.5 靜電源像法 98
3.5.1 三維半空間問題靜電源像法 98
3.5.2 球域問題的靜電源像法 100
3.6 狄拉克函數(shù)與基本解102
3.6.1 狄拉克函數(shù) 102
3.6.2 線性偏微分方程的基本解 105
3.6.3 狄拉克函數(shù)與格林函數(shù) 106
3.7 定解問題的唯一性 107
3.7.1 平均值公式 107
3.7.2 極值原理與泊松方程狄利克雷型邊值問題解的唯一性 108
3.7.3 強極值原理與泊松方程諾伊曼型邊值問題解的唯一性 110
3.7.4 能量方法與泊松方程定解問題解的唯一性 111
課后習題 112
第4章 二階線性偏微分方程分類與總結 116
4.1 二階線性偏微分方程的分類 116
4.1.1 二階線性偏微分方程的標準型.116
4.1.2 二階線性偏微分方程的分類總結 123
4.1.3 多自變量二階線性偏微分方程的分類 124
4.2 二階線性偏微分方程的相關討論 129
課后習題 135
第二部分 特殊函數(shù)
第5章 貝塞爾函數(shù).139
5.1 貝塞爾方程與貝塞爾函數(shù) 140
5.1.1 貝塞爾方程的導出 140
5.1.2 第一類貝塞爾函數(shù) 142
5.1.3 第二類貝塞爾函數(shù) 146
5.2 貝塞爾函數(shù)的性質 149
5.2.1 遞推公式 150
5.2.2 貝塞爾函數(shù)的零點 152
5.2.3 近似公式 153
5.2.4 由貝塞爾函數(shù)組成的完備正交系 154
5.2.5 與正余弦函數(shù)性質類比 157
5.3 利用貝塞爾函數(shù)求解偏微分方程 159
5.4 貝塞爾函數(shù)的衍生函數(shù) 167
5.4.1 第三類貝塞爾函數(shù) 167
5.4.2 修正貝塞爾函數(shù) 167
課后習題 168
第6章 勒讓德多項式 170
6.1 勒讓德方程 171
6.2 勒讓德多項式的導出174
6.2.1 勒讓德方程的冪級數(shù)解 174
6.2.2 勒讓德多項式的定義 177
6.3 勒讓德多項式的性質179
6.3.1 羅德里格斯公式 180
6.3.2 勒讓德多項式重要性質概覽.180
6.3.3 勒讓德多項式的正交性 182
6.3.4 一般正交多項式的討論 187
6.4 勒讓德多項式的應用190
6.4.1 球域內亥姆霍茲方程分離變量法求解 190
6.4.2 高斯–勒讓德求積公式 192
6.5 連帶勒讓德函數(shù) 196
課后習題 198
第7章 超幾何函數(shù)簡介 201
7.1 貝塞爾函數(shù)與勒讓德函數(shù)的共性特征 202
7.2 高斯超幾何函數(shù) 203
7.2.1 高斯超幾何函數(shù)的定義 203
7.2.2 超幾何微分方程 204
7.2.3 重溫勒讓德函數(shù)和勒讓德多項式 208
7.3 匯合型超幾何函數(shù) 211
7.3.1 庫默爾微分方程及方程的解 211
7.3.2 匯合型超幾何函數(shù)應用舉例 212
7.4 超幾何函數(shù)內容總結及人工智能相關新函數(shù) 213
7.4.1 超幾何函數(shù)內容總結 213
7.4.2 與人工智能相關的新函數(shù)形式 214
課后習題 217
參考文獻 218