本書旨在展現(xiàn)數(shù)學(xué)魅力和作者研究成果, 內(nèi)容分為兩部分: 第一部分為 基礎(chǔ)知識, 以高中數(shù)學(xué)為起點, 通俗易懂地介紹經(jīng)典不等式、抽屜原理、素 數(shù)與算術(shù)基本定理、組合數(shù)與組合恒等式、同余概念與性質(zhì)以及代數(shù)方程；第二部分為較高級知識, 由淺入深地介紹連分數(shù)、同余覆蓋系、二次互反律、 二元二次型、Chebyshev 多項式、Legendre 多項式、分拆數(shù)、線性遞推序列、 組合數(shù)等距求和、不變序列、Stirling 數(shù)、Bernoulli 數(shù)、p-正則函數(shù)、三(四) 次同余式、二項式系數(shù)同余式、類似 Apéry 數(shù)、差集和群的概念等美妙知 識, 其中包含了作者的許多相關(guān)成果. 此外, 第一講介紹數(shù)學(xué)的本性和特點, 最后的附錄介紹數(shù)學(xué)英雄 Euler.
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目錄
前言
常用記號
第1講 數(shù)學(xué)是什么 1
1.1 數(shù)學(xué)的本性 1
1.2 數(shù)學(xué)的特點 2
參考讀物 4
第2講 經(jīng)典不等式 5
參考讀物 12
第3講 抽屜原理與Ramsey定理 13
3.1 抽屜原理 13
3.2 Ramsey數(shù) R(n, k) 15
參考讀物 18
第4講 組合數(shù)與組合恒等式 19
參考讀物 28
第5講 連分數(shù)與Pell方程 29
5.1 輾轉(zhuǎn)相除法 29
5.2 有限連分數(shù) 30
5.3 無限連分數(shù) 32
5.4 循環(huán)連分數(shù) 39
5.5 d連分數(shù)與Pell方程 43
參考讀物 49
第6講 代數(shù)方程 50
參考讀物 60
第7講 素數(shù)與同余方程 61
7.1 素數(shù) 61
7.2 同余概念與性質(zhì) 64
7.3 Fermat小定理和Wilson定理 65
7.4 同余方程 67
參考讀物 68
第8講 同余覆蓋系 69
參考讀物 78
第9講 二次互反律 79
參考讀物 86
第10講 Chebyshev 多項式 87
參考讀物 92
第11講 Legendre多項式 93
參考讀物 101
第12講 sin x的無窮乘積公式 102
參考讀物 106
第13講 二元二次型 107
參考讀物 122
第14講 分拆數(shù)與因子和 123
參考讀物 132
第15講 Stirling數(shù) 133
參考讀物 148
第16講 p-正則函數(shù) 149
參考讀物 157
第17講 Bernoulli數(shù)與 Euler數(shù) 158
17.1 Bernoulli數(shù)與Bernoulli多項式 158
17.2 Euler數(shù)與Euler多項式 170
參考讀物 177
第18講 線性遞推序列與三、四次同余式 179
18.1 高階遞推序列 179
18.2 Lucas序列 185
18.3 三、四次同余式 190
參考讀物 199
第19講 組合數(shù)等距求和公式及其應(yīng)用 201
19.1 Tnr(3)與Tnr(4)公式及其應(yīng)用 201
19.2 Tn r(5)與Tnr(6)公式 206
19.3 Sr(n)遞推關(guān)系與Tnr(9)公式 211
19.4 Tnr(8)公式與Pell數(shù)同余式 218
19.5 Tnr(10)公式與Fibonacci數(shù)同余式 223
19.6 Tnr(12)公式 231
19.7 與Tnr(m)有關(guān)的同余式 234
參考讀物 236
第20講 不變序列與反不變序列 237
20.1 不變序列例子與轉(zhuǎn)換關(guān)系 237
20.2 不變序列的遞推關(guān)系 249
20.3 不變序列的變換公式 259
20.4 不變序列的同余式 263
參考讀物 267
第21講 二項式系數(shù)的同余式 268
21.1 單個二項式系數(shù)和的同余式 268
21.2 兩個二項式系數(shù)乘積之和的同余式 281
21.3 三個二項式系數(shù)乘積之和的同余式 308
參考讀物 325
第22講 類似Apéry數(shù) 328
22.1 三項遞推序列的恒等式與同余式 328
22.2 第一類Apéry-like數(shù) 332
22.3 第二類Apéry-like數(shù) 365
參考讀物 390
第23講 群的概念與性質(zhì) 395
23.1 群的定義與例 395
23.2 陪集與Lagrange定理 399
23.3 子群與正規(guī)子群 401
23.4 群的同構(gòu) 403
參考讀物 404
第24講 三、四次剩余 405
24.1 Euler與Gauss關(guān)于三、四次剩余的工作 405
24.2 三次互反律及其優(yōu)先權(quán)爭論 407
24.3 Dirichlet, Scholz和Burde的有理四次互反律 409
24.4 用群表述的有理三、四次互反律 410
24.5 用二元二次型判別三、四次剩余 413
參考讀物 414
第25講 對稱設(shè)計與差集 416
25.1 對稱設(shè)計 416
25.2 差集 419
參考讀物 422
附錄 數(shù)學(xué)英雄Euler 423
參考讀物 427
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