目錄
前言
第1章 復(fù)變函數(shù)論 1
1.1 復(fù)數(shù) 1
1.1.1 復(fù)數(shù)的定義 1
1.1.2 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 2
1.1.3 復(fù)數(shù)的幾何表示.4
習(xí)題1.1 9
1.2 復(fù)變函數(shù)的概念 10
1.2.1 區(qū)域的定義與分類 10
1.2.2 復(fù)變函數(shù)的單值性要求與黎曼面 11
習(xí)題1.2 14
1.3 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及解析函數(shù) 14
1.3.1 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性 14
1.3.2 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及解析函數(shù)的定義 15
1.3.3 柯西–黎曼條件 15
1.3.4 復(fù)變函數(shù)解析的充分必要條件 17
1.3.5 利用柯西–黎曼條件確定解析函數(shù) 18
1.3.6 解析函數(shù)的特性 19
習(xí)題1.3 22
1.4 復(fù)變函數(shù)的積分 23
1.4.1 復(fù)變函數(shù)積分的定義.23
1.4.2 柯西積分定理 24
1.4.3 柯西積分公式 26
習(xí)題1.4 28
1.5 解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開 29
1.5.1 冪級(jí)數(shù) 30
1.5.2 泰勒級(jí)數(shù) 32
1.5.3 洛朗級(jí)數(shù) 37
1.5.4 復(fù)變函數(shù)的零點(diǎn)與奇點(diǎn) 40
習(xí)題1.5 43
1.6 留數(shù)定理 44
1.6.1 留數(shù)的定義 44
1.6.2 留數(shù)定理及證明 45
1.6.3 留數(shù)的求法 45
1.6.4 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處函數(shù)的留數(shù)及留數(shù)和定理 46
習(xí)題1.6 48
1.7 留數(shù)定理在實(shí)變函數(shù)積分中的應(yīng)用 49
1.7.1 類型一:*型積分 49
1.7.2 類型二:*型積分.52
1.7.3 類型三:*型積分 55
1.7.4 具有支點(diǎn)的函數(shù)的積分.59
習(xí)題1.7 61
1.8 復(fù)變函數(shù)的色散關(guān)系 62
第2章 積分變換 65
2.1 傅里葉級(jí)數(shù) 65
2.1.1 周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開 66
2.1.2 復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) 69
2.1.3 有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開 71
2.1.4 多重傅里葉級(jí)數(shù)展開 74
習(xí)題2.1 75
2.2 傅里葉積分變換 75
2.2.1 傅里葉積分變換的概念 75
2.2.2 傅里葉變換的基本性質(zhì) 78
習(xí)題2.2 81
2.3 離散傅里葉變換 82
2.3.1 一維點(diǎn)陣上周期函數(shù)的離散傅里葉級(jí)數(shù)展開 82
2.3.2 一維點(diǎn)陣上非周期函數(shù)的離散傅里葉變換 84
2.4 δ-函數(shù) 85
2.4.1 δ-函數(shù)的定義 85
2.4.2 δ-函數(shù)的性質(zhì) 87
2.4.3 δ-函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 90
2.4.4 δ-函數(shù)的傅里葉變換 91
2.4.5 利用 δ-函數(shù)討論某些典型函數(shù)的傅里葉變換 94
2.4.6 傅里葉變換的積分定理.95
2.4.7 泊松求和公式 97
2.4.8 有限區(qū)間上δ-函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開 98
習(xí)題2.4 99
2.5 拉普拉斯變換 100
2.5.1 拉普拉斯變換的定義 101
2.5.2 拉普拉斯變換的性質(zhì) 102
習(xí)題2.5 108
2.6 拉普拉斯變換在常微分方程求解中的應(yīng)用 108
習(xí)題2.6 111
第3章 數(shù)學(xué)物理方程 112
3.1 波動(dòng)問題 112
3.1.1 波動(dòng)方程 (雙曲型方程) 的導(dǎo)出 113
3.1.2 定解問題的建立 119
3.1.3 有限區(qū)間齊次方程齊次邊界條件波動(dòng)定解問題的分離變量法求解 123
3.1.4 有限區(qū)間非齊次方程齊次邊界條件定解問題的分離變量法求解 135
3.1.5 共振 140
3.1.6 有限區(qū)間非齊次邊界條件定解問題的求解 142
3.1.7 積分變換法求解無界和半無界弦振動(dòng)問題 143
習(xí)題3.1 152
3.2 輸運(yùn)問題 153
3.2.1 輸運(yùn)方程 (拋物型方程)的導(dǎo)出及其定解問題的確立 154
3.2.2 有限區(qū)間上輸運(yùn)方程的分離變量法求解 159
3.2.3 無界與半無界空間上輸運(yùn)問題的求解 164
習(xí)題3.2 168
3.3 穩(wěn)定場(chǎng)問題 169
3.3.1 穩(wěn)定場(chǎng)方程 (橢圓方程) 及其定解問題的確立 170
3.3.2 有限區(qū)間上穩(wěn)定場(chǎng)問題的分離變量法求解 171
3.3.3 無界空間上穩(wěn)定場(chǎng)問題的求解 178
習(xí)題3.3 179
3.4 施圖姆–劉維爾本征值問題 179
3.4.1 施圖姆–劉維爾本征值問題的概念 179
3.4.2 本征函數(shù)族的正交性與廣義傅里葉級(jí)數(shù) 181
習(xí)題3.4 182
第4章 二階線性常微分方程.184
4.1 線性齊次常微分方程解的線性相關(guān)性 184
習(xí)題4.1 186
4.2 二階齊次常微分方程的級(jí)數(shù)解法 187
4.2.1 方程正常點(diǎn)鄰域內(nèi)的解 187
4.2.2 方程奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的解 191
習(xí)題4.2 200
4.3 二階非齊次常微分方程 200
第5章 三維曲線坐標(biāo)系下分離變量法與特殊函數(shù) 202
5.1 正交曲線坐標(biāo)系 203
習(xí)題5.1 206
5.2 球坐標(biāo)系下拉普拉斯方程定解問題求解 207
5.2.1 勒讓德多項(xiàng)式及軸對(duì)稱系統(tǒng)拉普拉斯方程的求解 210
5.2.2 締合勒讓德函數(shù)與一般球函數(shù) 224
習(xí)題5.2 230
5.3 柱坐標(biāo)系下拉普拉斯方程定解問題求解 231
5.3.1 整數(shù)階貝塞爾方程及其解.234
5.3.2 m-階貝塞爾函數(shù)Jm(x)及諾伊曼函數(shù)Nm(x)的性質(zhì) 239
5.3.3 虛宗量貝塞爾方程及其解.241
5.3.4 貝塞爾方程的本征值問題.243
5.3.5 柱狀體系中拉普拉斯方程求解范例 247
習(xí)題5.3 251
5.4 亥姆霍茲方程在球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系下的求解問題 251
5.4.1 球坐標(biāo)系下亥姆霍茲方程的求解 251
5.4.2 柱坐標(biāo)系下亥姆霍茲方程的求解 258
習(xí)題5.4 258
5.5 貝塞爾函數(shù)的應(yīng)用 259
習(xí)題5.5 261
第6章 格林函數(shù)法.262
6.1 無界空間泊松方程的格林函數(shù) 264
習(xí)題6.1 266
6.2 鏡像法求解格林函數(shù)266
習(xí)題6.2 269
6.3 不同邊值問題的格林函數(shù) 269
6.4 亥姆霍茲方程的格林函數(shù) 271
習(xí)題6.4 274
6.5 波動(dòng)方程的格林函數(shù)求解 275
主要參考書目 277
附錄A 群論簡(jiǎn)介 278
A.1 群論的基本概念.278
A.1.1 群的定義 278
A.1.2 幾個(gè)簡(jiǎn)單的群的實(shí)例 279
A.1.3 關(guān)于群的一些簡(jiǎn)單討論 282
A.1.4 子群 284
A.1.5 陪集與商群 286
A.1.6 群的同態(tài)與同構(gòu) 287
A.1.7 直積群 288
A.2 置換群 289
A.2.1 置換群的基本概念 289
A.2.2 重排定理與凱萊定理 291
A.2.3 輪換與交換 292
A.3 轉(zhuǎn)動(dòng)群 293
A.3.1 二維歐幾里得平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)群 293
A.3.2 三維歐幾里得空間中的轉(zhuǎn)動(dòng)群 299
A.4 代數(shù)的基本概念 302
A.5 李群和李代數(shù) 304
A.6 群的表示 305
A.6.1 群表示的基本概念 305
A.6.2 特征標(biāo)及等價(jià)表示 306
A.6.3 可約表示與不可約表示 306
附錄B 列維–奇維塔符號(hào)(全反對(duì)稱符號(hào)) 308
B.1 列維--奇維塔符號(hào)的概念 308
B.1.1 愛因斯坦求和約定 308
B.1.2 列維–奇維塔符號(hào)的定義及基本運(yùn)算規(guī)則 309
B.2 列維–奇維塔符號(hào)在矢量和張量運(yùn)算中的應(yīng)用 311
索引 314