目錄
前言
第1章 誤差 1
1.1 誤差的來源 1
1.1.1 誤差分析的重要性 1
1.1.2 誤差的來源 2
1.2 誤差 4
1.2.1 絕對誤差與相對誤差 4
1.2.2 有效數字與舍入誤差 6
1.2.3 條件數與病態(tài)問題 7
1.3 數值計算中需要注意的問題 9
1.3.1 避免兩個相近的數相減 9
1.3.2 防止大數“吃掉”小數 10
1.3.3 注意簡化計算步驟, 減少運算次數 11
1.3.4 避免誤差的傳播與積累 12
1.4 科學計算與MATLAB 程序 14
1.4.1 二進制數與十進制數 14
1.4.2 實數的浮點表示 16
1.4.3 MATLAB 計算及產生的誤差 19
習題1 22
數值實驗1 23
第2章 非線性方程求根 25
2.1 二分法 25
2.1.1 基本概念與性質 25
2.1.2 二分法的基本思想 28
2.1.3 誤差估計與收斂性分析 29
2.1.4 算法 30
2.1.5 算法的優(yōu)缺點 30
2.2 迭代法 31
2.2.1 迭代法的基本思想 31
2.2.2 迭代法的幾何解釋 32
2.2.3 收斂定理 34
2.2.4 誤差估計 35
2.2.5 算法 36
2.2.6 局部收斂定理 37
2.2.7 迭代收斂的階 38
2.2.8 迭代加速 40
2.3 Newton 法 43
2.3.1 算法介紹 43
2.3.2 Newton 法的幾何意義 44
2.3.3 算法 44
2.3.4 Newton 法的收斂速率 45
2.3.5 重根情況 46
2.3.6 Newton 下山法 48
2.4 弦截法 49
2.5 科學計算與MATLAB 程序 52
2.5.1 二分法 52
2.5.2 迭代法 55
2.5.3 Newton 法 58
2.5.4 弦截法 59
2.5.5 fzero 函數 60
2.5.6 roots 函數 62
習題2 62
數值實驗2 64
第3章 線性方程組的數值解法 67
3.1 消去法 68
3.1.1 順序Gauss 消去法 68
3.1.2 列主元Gauss 消去法 74
3.1.3 Gauss-Jordan 消去法 77
3.2 矩陣分解 83
3.2.1 LU 分解 83
3.2.2 Cholesky 分解 90
3.3 向量范數與矩陣范數 96
3.3.1 向量范數 96
3.3.2 矩陣范數 99
3.4 方程組的性態(tài) 103
3.4.1 關于方程組解的精度 103
3.4.2 矩陣的條件數 104
3.4.3 方程組的性態(tài) 104
3.4.4 病態(tài)方程組求解 108
3.5 科學計算與MATLAB 程序 108
3.5.1 求解線性方程組 108
3.5.2 矩陣分解 112
3.5.3 向量與矩陣范數、條件數 118
3.5.4 病態(tài)方程組求解 119
習題3 123
數值實驗3 126
第4章 解線性代數方程組的迭代法 129
4.1 Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 129
4.1.1 Jacobi 迭代法 129
4.1.2 Gauss-Seidel 迭代法 132
4.1.3 Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的進一步討論 133
4.2 迭代法的收斂性 135
4.2.1 迭代收斂定理 135
4.2.2 迭代收斂速度 139
4.2.3 對角占優(yōu)陣 141
4.3 逐次超松弛迭代法 146
4.3.1 逐次超松弛迭代法 146
4.3.2 SOR 迭代法的收斂性 147
4.3.3 逐次超松弛迭代中最優(yōu)松弛因子的討論 149
4.4 科學計算與MATLAB 程序 150
4.4.1 有關的MATLAB 函數 150
4.4.2 Jacobi 迭代法 151
4.4.3 Gauss-Seidel 迭代法 153
4.4.4 逐次超松弛迭代法 154
4.4.5 稀疏系數矩陣方程組的計算 155
4.5 求解線性方程組的共軛梯度法 157
4.5.1 共軛梯度法 157
4.5.2 算法 158
4.5.3 共軛梯度法的性質 159
4.5.4 MATLAB 程序 159
習題4 160
數值實驗4 162
第5章 非線性方程組數值解與最優(yōu)化方法 165
5.1 非線性方程組與最優(yōu)化問題 165
5.1.1 非線性方程組 165
5.1.2 最優(yōu)化問題 166
5.2 求解非線性方程組的數值方法 167
5.2.1 Newton 法 167
5.2.2 擬Newton 法 170
5.3 最優(yōu)化問題 172
5.3.1 Newton 法 172
5.3.2 擬Newton 法 174
5.3.3 非線性最小二乘問題 176
5.4 科學計算與MATLAB 程序 177
5.4.1 求解非線性方程組 177
5.4.2 求解無約束優(yōu)化問題 179
5.4.3 MATLAB 軟件中的優(yōu)化工具箱 183
習題5 187
數值實驗5 188
第6章 插值方法 190
6.1 Lagrange 插值 190
6.1.1 Lagrange 插值多項式 190
6.1.2 Lagrange 插值公式的計算 192
6.1.3 插值余項 196
6.2 Newton 插值 199
6.2.1 均差 199
6.2.2 Newton 基本插值公式 202
6.2.3 差分 204
6.2.4 等距節(jié)點的Newton 插值公式 207
6.3 Hermite 插值 210
6.3.1 兩點二次插值公式 210
6.3.2 兩點三次Hermite 插值公式 213
6.3.3 Hermite 插值公式 216
6.3.4 Newton 形式的Hermite 插值公式 217
6.4 分段低次插值 219
6.4.1 高次插值多項式的問題 219
6.4.2 分段線性插值 220
6.4.3 分段三次Hermite 插值 222
6.5 三次樣條插值 224
6.5.1 三次樣條插值函數 224
6.5.2 三次樣條插值函數的求法 225
6.5.3 三次樣條插值的收斂性 235
6.6 科學計算與MATLAB 程序 237
6.6.1 自編程序 237
6.6.2 有關插值運算的MATLAB 函數 241
6.6.3 高維插值函數 245
習題6 250
數值實驗6 253
第7章 數據擬合與函數逼近 255
7.1 數據擬合及最小二乘原理 255
7.1.1 最小二乘原理與線性擬合 255
7.1.2 多項式擬合 257
7.1.3 可化為線性擬合 259
7.2 用正交多項式作最小二乘擬合 262
7.2.1 基本概念 262
7.2.2 一般形式的最小二乘擬合 263
7.2.3 正交多項式擬合 264
7.3 多變量的數據擬合 267
7.3.1 多變量的數據擬合 267
7.3.2 不相容方程組求解 269
7.4 連續(xù)函數的最佳平方逼近 271
7.4.1 最佳平方逼近的概念及計算 272
7.4.2 正交多項式 274
7.4.3 用正交函數作最佳平方逼近 278
7.5 三角多項式與快速Fourier 變換 280
7.5.1 最佳平方逼近 280
7.5.2 離散Fourier 變換 283
7.5.3 快速Fourier 變換 285
7.5.4 用Fourier 變換構造三角插值多項式 287
7.6 科學計算與MATLAB 程序 289
7.6.1 最小二乘擬合多項式 289
7.6.2 數據擬合的MATLAB 實現 291
7.6.3 非線性數據擬合的MATLAB 實現 293
7.6.4 快速Fourier 變換 295
習題7 297
數值實驗7 299
第8章 數值積分和數值微分 302
8.1 Newton-Cotes 求積公式 302
8.1.1 數值求積公式的構造及其代數精確度 302
8.1.2 梯形求積公式 304
8.1.3 Simpson 求積公式 306
8.1.4 Cotes 求積公式 308
8.1.5 Newton-Cotes 求積公式 309
8.1.6 數值計算的穩(wěn)定性問題 311
8.2 復化求積公式 312
8.2.1 復化梯形公式 312
8.2.2 復化Simpson 公式 314
8.2.3 復化Cotes 公式 315
8.3 Romberg 求積法 318
8.3.1 變步長的梯形公式 318
8.3.2 Romberg 求積公式 319
8.3.3 Romberg 求積法 320
8.3.4 Richardson 外推加速法 323
8.4 Gauss 求積公式 325
8.4.1 Gauss 點 326
8.4.2 Gauss-Legendre 公式 327
8.4.3 Gauss-Legendre 公式的使用 329
8.4.4 Gauss 型求積公式的余項及穩(wěn)定性 330
8.4.5 Lobatto 求積公式 331
8.5 數值微分 332
8.5.1 數值微分的兩點公式 333
8.5.2 數值微分的三點公式 333
8.5.3 步長h 的選取 334
8.5.4 用樣條函數求導數 335
8.6 科學計算與MATLAB 程序 335
8.6.1 求積公式編程 335
8.6.2 數值積分的MATALB 實現 341
8.6.3 反常積分的數值方法 344
8.6.4 數值微分 347
習題8 351
數值實驗8 353
第9章 常微分方程的數值解 355
9.1 Euler 方法 355
9.1.1 Euler 方法 355
9.1.2 梯形公式和改進Euler 方法 360
9.2 Runge-Kutta 方法 363
9.2.1 Runge-Kutta 方法的基本思想 363
9.2.2 二階Runge-Kutta 法 364
9.2.3 四階Runge-Kutta 法 366
9.2.4 變步長的Runge-Kutta 法 368
9.3 單步法的收斂性和穩(wěn)定性 368
9.3.1 單步法的收斂性 368
9.3.2 單步法的穩(wěn)定性 371
9.3.3 穩(wěn)定性的意義 374
9.4 線性多步法 375
9.4.1 線性多步法的一般公式 375
9.4.2 Adams 外推公式 377
9.4.3 Adams 內插公式 379
9.4.4 預報{ 校正公式 380
9.5 常微分方程組和高階微分方程的數值方法 381
9.5.1 常微分方程組 381
9.5.2 高階方程 382
9.5.3 剛性方程組 383
9.6 科學計算與MATLAB 程序 384
9.6.1 自編程序 384
9.6.2 算法的穩(wěn)定性 387
9.6.3 初值問題計算的MATLAB 實現 388
習題9 392
數值實驗9 394
第10章 矩陣特征值與特征向量的計算 397
10.1 冪法和反冪法 397
10.1.1 冪法 397
10.1.2 加速方法 401
10.1.3 反冪法 402
10.2 Jacobi 方法 405
10.2.1 Jacobi 方法的基本思想 405
10.2.2 Jacobi 方法 406
10.2.3 算法的收斂性質 407
10.2.4 有關公式的計算與簡化 408
10.2.5 Jacobi 過關法 411
10.3 QR 方法 412
10.3.1 QR 方法 412
10.3.2 Householder 矩陣 413
10.3.3 上Hessenberg 陣 414
10.3.4 矩陣的QR 分解 416
10.4 科學計算與MATLAB 程序 418
10.4.1 自編程序 418
10.4.2 求矩陣特征值的MATLAB 實現 422
習題10 424
數值實驗10 425
答案 426
參考文獻 445